零知識證明

密碼學中，零知識證明（英語：zero-knowledge proof）或零知識協定（zero-knowledge protocol）是一方（證明者）向另一方（檢驗者）證明某命題的方法，特點是過程中除「該命題為真」之事外，不泄露任何資訊。因此，可理解成「零洩密證明」。例如，欲向人證明自己擁有某情報，則直接公開該情報即可，但如此則會將該細節亦一併泄露；零知識證明的精粹在於，如何證明自己擁有該情報而不必透露情報內容。這也是零知識證明的難點。

若該命題的證明，需要知悉某秘密方能作出，則檢驗者單憑目睹證明，而未獲悉該秘密，仍無法向第三方證明該命題（即單單轉述不足以證明）。待證的命題中，必定包含證明者宣稱自己知道該秘密，但過程中不能傳達該秘密本身。否則，協定完結時，已給予檢驗者有關命題的額外的資訊。此類「知識的零知識證明」是零知識證明的特例，其中待證命題僅有「證明者知道某事」。

互動式零知識證明中，需要各方互動，靠通訊過程證明某方具備某知識，而另一方檢驗該證明是否成立。

也有某種非互動式零知識證明，但證明之所以成立，依賴計算假設（典型假設是理想的密碼雜湊函數）。

生活範例

山洞中，小靜隨機選擇A路或B路，阿嚴則在洞外等候

阿嚴選一個出口

小靜準確出現在阿嚴所選的出口出現

以下有一個熟知的故事，總結零知識證明的若干重要概念。故事最早由Jean-Jacques Quisquater及同事發表於《如何向你的孩子解釋零知識協定》。設有小靜（證明者）和阿嚴（驗證者）兩人。

故事中，小靜發現洞穴中某扇魔法門的開門暗號。洞穴呈環形，入口在一側，對側則有魔法門隔斷。阿嚴想知小靜是否已知該暗號，但小靜很注重私隱，不希望泄露暗號予阿嚴，也不想全世界知道她有暗號之事。

兩人分別將入口左右兩條通道標示為A路、B路。首先，阿嚴在洞口外，待小靜進入洞內。小靜自行選擇行A路或B路，但阿嚴不准窺視小靜所選為何。然後，阿嚴行入洞穴，均勻隨機喊出A路或B路，表明希望小靜由該方向返回。假若小靜確實知道暗號，則很易達成，因為即使起初所選不是同一條路，她也可以開門通過，從另一條路返回。

然而，若她其實不知道暗號，則祗有一半概率能從阿嚴所選的方向返回，因為阿嚴隨機選A路和B路，恰有一半機會選中起初小靜進入的方向。若兩人重複以上過程，比如連續20次，則小靜靠運氣全部碰巧從正確方向返回的概率極小，為2²⁰分之1。

所以，若小靜連續多次從阿嚴所選的方向返回，則阿嚴可以推斷，小靜很可能知道暗號。

以下考慮第三方的觀點。即使假設阿嚴佩戴隱蔽的鏡頭，錄影所見的整個過程，鏡頭所見亦只有阿嚴喊「A！」小靜從A路返回；或阿嚴喊「B！」小靜從B路返回。此種片段極易由兩人共謀偽造（祗需小靜與阿嚴事前商討多次驗證中阿嚴將選該串A、B的次序），從而對第三方而言，不具說服力，即阿嚴無法藉此向第三方證明小靜知道暗號。事實上，即使錄影換成現場在阿嚴身旁監視亦同，因為兩人可能一早已協調綵排好。

但是，若阿嚴在鏡頭前擲硬幣，然後按該硬幣喊A或B，則協定不再零知識。該段錄影可能足以說服第三方，兩人無法偽造，因為阿嚴難以準確擲出預定的AB次序。於是，雖然證明過程沒有泄露暗號予阿嚴，但是阿嚴可藉此說服世人，證明小靜知道暗號，與小靜起初的意欲完全相反。不過，數碼的密碼學中，「擲硬幣」以偽亂數生成器實作，類似於一枚結果已預定好的硬幣，但該結果（由其隨機種子決定）僅有硬幣主人知道。若阿嚴的硬幣實際是以此法運作，則協定又回復為零知識協定，因為兩人又有可能共同偽造「實驗」結果，所以使用偽隨機數生成器與擲真硬幣不同，前者不會向世人泄露小靜知道暗號。

還有另一種做法，小靜以獨一次實驗已可向阿嚴證明自己知道暗號，而不泄漏。方法是，兩人一同走入洞口，然後阿嚴目送小靜沿A路走，沒有原路折返，但從B路返回。如此，小靜必然已向阿嚴證明自己知道暗號，而沒有告知阿嚴暗號。不過此種證明亦非零知識：若第三方觀察到過程，或阿嚴有錄影，則該證明對第三方具說服力。換言之，小靜無法宣稱自己與阿嚴串通，所以無法向第三方說該證明無效。如此，小靜無法控制何人得知她擁有暗號之事。

定義

零知識證明要具備下列三種性質：

完備（complete）

若所要證之事為真，則誠實（意即依協定行事）的證明者能說服誠實驗證者。

健全（sound）

若命題為假，則作弊證明者僅得極小機會能說服誠實驗證者該事為真。

零知識（zero-knowledge）

若命題為真，則驗證者除此之外，過程中沒有得悉任何其他資訊。換言之，僅知命題為真（而不知祕密本身）已足以「想像」出一個互動的情境，其中證明者的確知道該秘密。此性質能嚴格定義為：每個驗證者皆有相應的模擬器，輸入欲證事實時，無需求助於證明者，已可輸出一套通訊謄本，看似誠實驗證者與證明者的通訊記錄。

前兩種性質，更廣義的互動式證明系統亦應具備。第三種性質使該互動證明稱為零知識。

零知識證明不算數學證明，因為尚允許有很少（但非零）概率，令作弊證明者能向驗證者「證明」假命題。該概率稱為可靠度誤差（soundness error）。換言之，零知識證明是概率「證明」，而非決定性。不過，也有技巧將可靠度誤差壓到忽略不計。

零知識的嚴格定義，需要抽象計算模型，如常見的圖靈機。設$P$、$V$、$S$為三部圖靈機。某語言$L$的互動式證明系統$(P,V)$為零知識，意思是對任意概率多項式時間（PPT）驗證者${\widehat {V}}$，皆有PPT模擬器$S$使得：

$\forall x\in L,z\in \{0,1\}^{*},\operatorname {View} _{\widehat {V}}\left[P(x)\leftrightarrow {\widehat {V}}(x,z)\right]=S(x,z)$

其中$\operatorname {View} _{\widehat {V}}\left[P(x)\leftrightarrow {\widehat {V}}(x,z)\right]$是$P(x)$與${\widehat {V}}(x,z)$間互動的全記錄。證明者$P$通常假設具無限計算能力（實踐上，常為概率圖靈機）。直觀理解，某互動證明系$(P,V)$為零知識，即對任意驗證者${\widehat {V}}$，皆存在某高效模擬器$S$（視乎${\widehat {V}}$而定），給定任何輸入，可以重現$P$與${\widehat {V}}$間的對話。定義中的輔助串$z$，是用作放置任何「前備知識」（包括預知${\widehat {V}}$運行時擲得的硬幣結果）。定義推出，${\widehat {V}}$不能利用預知串$z$從與$P$的對話中發掘出資訊，因為若給予$S$該串，則也同樣可以重現${\widehat {V}}$與$P$間的對話。

以上為完美零知識的定義。若將定義中，驗證者${\widehat {V}}$的視角（view）與模擬相等之要求，改為僅要求計算上無法分辨，則得到計算零知識的定義。

計算範例

離散對數

前段概念適用於較實際的密碼學場景。設小靜欲向阿嚴證明，自己知道某群某指定元素的離散對數。

例如，給定數$y$、質數$p$、生成元$g$，小靜希望證明自己知道某數$x$使$g^{x}{\bmod {p}}=y$，而不泄漏$x$。事實上，知曉$x$之事，本身可用作身份證明，即小靜可藉此證明該$y$值是由她先暗中選某隨機值$x$，再計算$y=g^{x}{\bmod {p}}$，公諸所有潛在的驗證者。如此，若某人證明自己知道$x$，則相當於證明自己即小靜，因為學者相信離散對數很難計算，即其他人無法從$y$倒推出$x$值。

證明協定如下：每輪，小靜預備隨機數$r$，計算$C=g^{r}{\bmod {p}}$，將該值傳予阿嚴。收到$C$後，阿嚴隨機請求下列兩者之一：小靜公開$r$值，或$(x+r){\bmod {(p-1)}}$值。單獨看任何一個值，其分佈皆是均勻隨機，所以協定每輪皆不泄露任何機密。

阿嚴可以驗證所得回應。若問$r$，則可以計算$g^{r}{\bmod {p}}$，檢查是否等於$C$。若問$(x+r){\bmod {(p-1)}}$，則可以計算$g^{(x+r){\bmod {(p-1)}}}{\bmod {p}}$，而該值應當等於$C\cdot y{\bmod {p}}$，所以亦驗證$C$值是否滿足該條件。若小靜確實知道$x$值，理應很易回答阿嚴的任一條問題。

若小靜預知阿嚴採用何種盤問，則很易作弊，在不知$x$的情況下，向阿嚴假裝自己知道$x$：若她知道阿嚴將要問$r$，則如常繼續，選$r$，計算$C=g^{r}{\bmod {p}}$，告知阿嚴$C$值；她可以答出$r$值。另一方面，若她知道阿嚴將問$(x+r){\bmod {(p-1)}}$，則取隨機一個$r'$值，計算$C'=g^{r'}\cdot \left(g^{x}\right)^{-1}{\bmod {p}}$，然後傳送$C'$值予阿嚴（阿嚴會以為該值為$C$值）。當阿嚴要求公開$(x+r){\bmod {(p-1)}}$值時，小靜公開$r'$，但這足以讓阿嚴驗證結果，因為他計算的值實為$g^{r'}{\bmod {p}}$，是等於$C'\cdot y$，因為$C'$正是小靜一早乘上$y$的反元素而計出。

然而，若有某輪驗證中，阿嚴的問題與小靜預估的有出入，則小靜無法計算出要答的結果（假定該群的離散對數問題難解）。若她揀選$r$並公開$C=g^{r}{\bmod {p}}$，則無法作弊給出服眾的$(x+r){\bmod {(p-1)}}$值來通過阿嚴的檢查，因為不知道$x$。又若她揀選$r'$值，偽裝成$(x+r){\bmod {(p-1)}}$，則要回答公開值的離散對數，但她無法回答，因為該值是由已知值乘出，而非某已知值以$g$為底的冪，所以她不能計出其離散對數

所以，作弊的證明者僅得$1/2$概率通過某輪驗證。重複足夠多輪，成功作弊的概率可壓到任意小。

撮要

小靜要證知道$x$值（如其密碼）。

1. 小靜與阿嚴約定某質數$p$，及域$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$的乘法生成元$g$。
2. 小靜計算$y=g^{x}{\bmod {p}}$，傳送予阿嚴。
3. 重複以下步驟若干次：
   1. 小靜選某個均勻隨機數$r\in U[0,p-2]$，計算$C=g^{r}{\bmod {p}}$，傳送$C$予阿嚴。
   2. 阿嚴問小靜$(x+r){\bmod {(p-1)}}$或$r$，二選其一。若問前者，則阿嚴驗證$(C\cdot y){\bmod {p}}\equiv g^{(x+r){\bmod {(p-1)}}}{\bmod {p}}$。若問後者，則他驗證$C\equiv g^{r}{\bmod {p}}$。

$(x+r){\bmod {(}}p-1)$之值，可視為$x{\bmod {(}}p-1)$的加密。若$r$確為隨機，在$0$至$(p-2)$間均勻分佈，則$(x+r){\bmod {(p-1)}}$也同樣均勻分佈，所以不會泄漏任何關於$x$的資訊（見一次性密碼本）。

大圖的哈密頓環

下列方案是曼紐爾·布盧姆提出。

此場境中，小靜知道某大圖$G$的哈密頓環。阿嚴知道$G$但不知該環（比如說小靜將該圖列印給阿嚴）。一般相信，找大圖的哈密頓環，在計算上並不可行，因為相應的決定問題已證為NP完全。小靜欲證自己知道該環，但不想泄漏出去，原因可能是阿嚴打算向小靜買，但付款前希望先驗證小靜知道；也可能是全世界衹得小靜知道該環，所以小靜向阿嚴證明此事，是為向阿嚴核實自己身份。

小靜為證明自己知道哈密頓環，與阿嚴作若干輪驗證。每輪中：

• 一開始，小靜預備圖$H$，是與$G$同構（即$H$與$G$一樣，但頂點的標籤不同）。若小靜知道$G$的哈密頓環，則因為$H$與$G$間的同構由她揀選，她很易找到$H$中對應的哈密頓環。
• 小靜秘諾$H$。此處可選任意密碼學秘諾機制，甚或直接將$H$的頂點編號，然後對$H$的每條邊，將兩端編號寫在小紙片上，反轉蓋在枱面。總之，秘諾目的是使小靜此後無法竄改$H$，但同時不讓阿嚴提早知道$H$的資訊。
• 阿嚴隨機問小靜以下兩事之一：給出$H$與$G$間的同構（見圖同構問題）；或給出$H$的哈密頓環。
• 若問兩圖的同構，則小靜先展示$H$（將枱面全部紙翻開），並給出$G$頂點與$H$頂點的對應表。阿嚴可以驗證該對應關係是否滿足圖同構的條件。
• 若問哈密頓環，則小靜衹翻開在$H$的哈密頓環上的紙片。如此，阿嚴已可驗證$H$有哈頓頓環。

秘諾一步必須使阿嚴在第二種情況能驗證該環確實由$H$的邊構成。一種做法是，逐條邊分別秘諾。

完備

若小靜確知$G$中的哈密頓環，則阿嚴詢問同構時，她很易回答（該同構為她所選），而阿嚴問$H$中的哈密頓環時，她同樣很易回答（$G$有哈密頓環，$G$與$H$間的同構為所她選，所以可以找到$H$中對應的環）。

健全

若小靜不知哈密頓環，則衹能預先猜測阿嚴會問何種問題，相應準備某個與$G$同構的圖，或另一個不相關的哈密頓圖。然而，因為她不知$G$的哈密頓環，所以無法同時做兩件事。於是，若以上驗證重複$n$次，則小靜矇混過關的概率僅得$2^{-n}$，從而實際意義上，衹需合理多輪驗證，已使造假者寸步難行。

零知識

小靜的回答不泄漏原圖$G$的哈密頓環，因為每一輪，阿嚴衹會得悉$H$與$G$的同構，或是$H$的哈密頓環，兩者之一，但他需要對同一個$H$同時得知兩者，纔能構造出$G$中的哈密頓環。如此，衹要小靜每輪預備一幅不同的圖$H$，就能保密。若小靜不知$G$的哈密頓環，但不知為何已事前得知阿嚴每輪會問的問題，則她可以作弊。例如，若小靜預知阿嚴該輪會問$H$的哈密頓圖，則大可以祕諾一幅與$G$無關的哈密頓圖。與之類似，若小靜預知阿嚴會問同構表，則她可以隨便預備一幅與$G$同構的圖$H$（其中她不知道任何哈密頓圖）。阿嚴根本無需小靜在場，亦可獨自想像出自己將見的場面，因為他清楚自己將會問甚麼，將見的僅是一個環（而不顯示圖的其他部分）或一幅與$G$同構的圖，即阿嚴可以自行模擬該協定。因此，阿嚴從每一輪驗證揭露之事，無法得到任何關於$G$哈密頓環的資訊。

零知識條件的變式

「零知識」的定義有若干變形，分別在於如何嚴謹定義模擬結果「看似」真實的互動記錄：

完美零知識（perfect zero-knowledge）

模擬器與真正互動產生的概率分佈完全相等。離散對數範例即屬此類。

統計零知識（statistical zero-knowledge）

兩個分佈並非完全相等，但統計上接近，即有某個可忽略函數，使該兩列分佈在任意集合取值的概率差，皆小於該函數。

計算零知識（computational zero-knowledge）

無高效演算法分辨兩個分佈。

應用

身份驗證

零知識證明的研究，是受身份驗證系統啟發。驗證時，一方要向另一方證明自己身份，通常藉賴證明自己持有某種袐密（如通行密碼），但不希望對方知悉該袐密，稱為零知識知識證明。不過，通行密碼一般不是太短，就是不夠隨機，不能用於許多零知識知識證明方案。零知識通行碼證明就是有考量密碼長度限制的一類零知識知識證明。

2015年4月，Sigma協定（「其中之一」證明，英語：one-out-of-many proofs）面世。2021年8月，美國網絡基建、安全公司Cloudflare採用該種證明機制，以供應方硬件為私人網絡提供驗證服務。

道德行為

密碼學協定之中使用零知識證明，可以在不退讓私隱的情況下，確保各方誠實。粗略言之，方法是迫用戶零知識地證明，其所作所為是依足協定。由健全性，用戶必先確實跟從協定，纔能服眾。又由於證明是零知識，此過程並無犠牲用戶的私隱。

核裁軍

2016年，普林斯頓等離子物理實際室與普林斯頓大學展示一個技巧，或許適用於未來的核裁軍談判。其特點是，無需揭露某物件內部的機密構造，亦可允許督查員判斷該物件是否核武器。

區塊鏈

零知識證明用於小零幣與大零幣協定中，最終於2016年發展成小零幣（2020年改稱飛熔幣）和大零幣兩種加密貨幣。小零幣內建有混幣模型，以確保匿名，且該模型無需信任任何對等用戶或中央集權混幣者。用戶可以用另一種基準幣交易，也可以將該幣賣出買入小零幣。大零幣協定的模型也類似（該變式稱為非互動式零知識證明），而且可以掩蓋交易額，但小零幣則不能。大零幣的交易數據如此隱密，所以與小零幣相比，較不易受到私隱計時攻擊。不過，此層額外私隱，可能導致不能追蹤假幣，倘因此造成大零幣供給的超通漲，可能無法偵測到。

2018年，防彈證明（bulletproofs）面世。其改進自非互動式零知識證明，不再需要可信的安裝環境。其後，實作成「結舌」協定（Mimblewimble protocol，Grin和Beam兩種加密幣皆出自該協定）和門羅幣。2019年，飛熔幣實作Sigma協定，是對應小零幣協定無可信環境的改進。同年，飛熔幣引入萊蘭托斯協定（Lelantus protocol），更自Sigma協定改進，隱去交易的源頭與金額。

沿革

零知識證明最早由莎菲·戈德瓦塞爾、希爾維奧·米卡利、查爾斯·拉克福三人於1985年發表，論文題為《互動式證明系統的知識複雜度》。該論文引入互動式證明系統的IP複雜度類，並構想出「知識複雜度」概念，衡量證明過程中，由證明者遞移予驗證者的知識量。三人亦給出首個具體問題的零知識證明，即零知識地證明某數不是模 m 的二次剩餘。連同鮑鮑伊·拉茲洛與什洛莫·莫蘭的另一篇論文，戈-米-拉三氏的論文發明了互動式證明系統。為此，五人同獲1993年首屆哥德爾獎。

引述戈-米-拉三氏：

該額外知識基本為0的情況尤其值得關注。我等證明，可以互動地證明某數非模 m 的二次剩餘，而釋出零額外知識。其出奇之處是，若不給定 m 的分解，則無高效演算法判別某數是否模 m 的二次剩餘。更甚者，任何已知的NP證明皆要表明 m 的質因數分解。這就表明，在證明過程中添加互動，可能減少證明某定理所必須交流的知識。

二次非剩餘問題既有NP演算法又有反NP演算法，故位處NP與反NP兩類之交集中。其後找到有零知識證明的若干個問題，亦具同樣的性質，例如歐迪·戈德賴希未經正式出版的證明系統，可以驗證某數（為兩個未知質數之積）不是布盧姆整數，即並非兩個模4餘3的質數之積。

歐迪·戈德賴希、希爾維奧·米卡利、阿維·威格森更進一步證明，假定存在無懈可擊的加密法，則可以造出三色圖着色問題的零知識證明系統，而該問題本身為NP完全。又因為每個NP問題都可以高效化歸成該NP完全問題，所以在前述假定下，所有NP問題皆有零知識證明。需要該假定的原因是，正如前節範例，需要有秘諾的手段。若存在單向函數，則的確有牢不可破的加密法。此為廣泛參照的充分條件。另外也可能有物理方法實作。

更上一層樓，他們亦證明，圖不同構問題，即圖同構問題之補，有零知識證明。該問題已知屬於反NP，但未知是否屬於NP或其他實際可行的複雜度類。更一般地，羅素·英帕利亞佐、莫迪凱·容二人，與米高·本-奧爾（Michael Ben-Or）及同事，兩組證明：同樣假設存在單向函數或牢不可破的加密，則任何屬於IP（已證等於PSPACE）的問題，皆有零知識證明。換言之，任何命題若可藉互動系統證明，則可零知識證明。

許多理論家不希望假設不必要的條件，所以試圖在不假定單向函數的條件之下，證明同樣的結論。有種做法稱為「多證明者互動式證明系統」（見互動式證明系統），即有多個獨立的證明者，而非僅得一個。驗證者可以將證明者逐個孤立，然後詰問，以免被作弊證明者誤導。無需任何難解假設，已可證明在此系統中，任何NP問題皆有零知識證明。

後來發現，互聯網等同時執行多個協定的環境中，較難構造零知識證明。研究並行零知識證明的先驅是辛西婭·德沃克、莫尼·納奧爾、阿米特·薩海。此類研究之中，重要成果有證據不可辨協定。與零知識相比，其性質較弱：可能有多種證據供證明者選擇採用何者作證，此時僅要求驗證者無法分辨證明者選擇為何，但證明者可以泄漏部分資訊，如全體證據組成的集合。儘管失去零知識性質，但此類協定的好處是，並行時不會遇到此前提及的問題。

變式尚有非互動式零知識證明。曼紐爾·布盧姆、保羅·費爾德曼（Paul Feldman）、米卡利證明，若證明者與驗證者共有一條隨機字串，則可以達成計算零知識，而毋須互動。

參見

• 配對式密碼學：給定$f(x)$與$f(y)$，無需知道$x$、$y$，已可計算$f(x\times y)$。
• 安全多方計算：各方的輸入值保密，但共同計算出該些輸入對應的結果。
• 圈子簽名：可以簽署某檔案，使圈外人無法得悉由圈內何人署名，衹知圈內有某人署名。
• 阿羅資訊悖論
• 密碼學協定
• 費蓋-菲亞特-薩莫爾身份認證
• 密碼學諸主題