邊界 (拓撲學)
外觀
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邊界,(英語:boundary),是點集拓樸的概念,拓撲空間 X 的子集 S 的邊界是從 S 和從 S 的外部都可以接近的點的集合。更嚴格的說,它是屬於 S 的閉包但不是 S 的內點的所有點的集合。S 的邊界的元素叫做 S 的邊界點(英語:boundary point)。集合 S 的邊界的符號包括 bd(S)、fr(S) 和 ,。某些作者(比如 Willard 在 General Topology 中)使用術語「邊境」(frontier)而不用邊界來試圖避免混淆於代數拓撲學中使用的邊界概念。
S 的邊界的連通單元叫做 S的邊界單元。
定義
[編輯]拓撲空間的子集的邊界(記為)有一些常用及等價的定義:
性質
[編輯]- 集合的邊界是閉集。
- p 是某集合的邊界點,若且唯若所有 p 的鄰域包含至少一個點屬於該集合且至少一個點不屬於該集合。
- 某集合的邊界等於該集合的閉包和該集合的補集的閉包的交集。
- 某集合是閉集,若且唯若該集合的邊界在該集合中;某集合是開集,若且唯若該集合與其邊界不相交。
- 某集合的邊界等於其補集的邊界。
- 某集合的閉包等於該集合和其邊界的併集。
- 某集合的邊界為空,若且唯若該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集)。
舉例
[編輯]- 若 ,則 。
- 在 R3 中,若 Ω=x2+y2 ≤ 1且Z=0,則 ∂Ω = Ω;但在 R2 中,∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以,集合的邊界依賴其背景空間。
引用
[編輯]- J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.
- S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.
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