赫爾德條件

數學上，稱$\mathbb {R} ^{n}$上的實值函數$f$適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數$C$，$\alpha$，使得$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$,

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.$

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。$\alpha$稱為赫爾德條件的指數。如果$\alpha =1$，則函數適合利普希茨條件。如果$\alpha =0$，則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記$\Omega$為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間$C^{n,\alpha }(\Omega )$所包含的函數，是直到n階微分都適合指數$\alpha$的赫爾德條件。這是拓撲向量空間，可以定義半範數：

$|f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},$

對$n\geq 0$，下式給出範數：

$\|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}$

其中$\beta$涵蓋所有多重指標，而

$\|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|$

$C^{0,\alpha }({\mathbb {R} })$的例子

• 如果$0<\alpha \leq \beta \leq 1$，那麼所有$C^{0,\beta }$赫爾德連續函數都是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續的。這也包括了$\beta =1$(這裏需要集合是有界的)，所以所有利普希茨連續函數都是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續。

• 在$[0,3]$上定義函數$f(x)={\sqrt {x}}$，$f$不是利普希茨連續；但對$\alpha \leq {\frac {1}{2}}$，$f$是$C^{0,\alpha }$赫爾德連續。