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能量串級

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可視化的湍流射流,使用激光誘導熒光英語Planar laser-induced fluorescence技術製成。射流涉及多個長度尺度,這是在湍流模型中出現能量串級的先決條件。

連續介質力學中,能量串級包括能量從大尺度運動到小尺度運動的傳輸(稱為正向能量串級)或能量從小尺度到大尺度的傳輸(稱為逆向能量串級)。這種不同尺度之間的能量轉移只能發生在非線性系統中。嚴格來說,串級的能量傳輸發生在局部(僅在非常接近的尺度之間),類似於水從一個水池流動到下一個臨近水池產生的層疊瀑布,而不會出現跨越整個尺度範圍的遠程傳輸。

在對完全成形的湍流的研究中,能量串級是一個重要概念。路易斯·弗萊·理查德森作於1920年代的這首詩描寫了這種現象,令人記憶深刻。能量串級對於理解波湍流英語wave turbulence理論中的波濤現象也很重要。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity
路易斯·弗萊·理查德森, 1922[1]

以氣流在高層建築周圍形成的湍流為例。邊界層分離所產生的渦流英語Eddy蘊含能量,其大小在數十米左右。這一尺度範圍稱為含能區。在氣流下游的某處,空氣的黏度導致的耗散主要發生在柯爾莫哥洛夫微尺度上,在這個例子中也就是毫米大小。這一尺度範圍稱為耗散區。而在這兩個等級的尺度之間,沒有外力作用,黏度也不會導致明顯的耗散,卻存在非線性的,從大尺度到小尺度的淨能量傳輸。

如果含能區和耗散區之間存在很大距離,則它們之間的尺度範圍稱為慣性子區(英文:inertial subrange)。這些尺度上的運動可以通過自相似性來描述,或者通過對其統計學特徵做出假設(從而滿足湍封閉)來分析。安德雷·柯爾莫哥洛夫在1940年代開創性地推導出了對湍流慣性子區中波數譜的預測。

湍流慣性子區中的譜

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在湍流能量譜中能量產生、串級、耗散的圖示。

在湍流中,最大尺度的渦流蘊含最多的動能。而黏度導致的能量的耗散主要發生在最小的渦流中。柯爾莫哥洛夫假設,當這兩種尺度之間距離很大時, 兩者之間的尺度範圍在統計學上具有各向同性,而它在達到平衡時的特徵只取決於能量在小尺度上耗散的速率。(耗散機械能通過摩擦轉化為熱能的過程。)耗散速率 可以表示用湍流中波動的應變速率英語strain rate和流體的運動粘度 表示。它的量綱是能量/(單位質量·單位時間)。達到平衡狀態時,在大尺度運動中產生湍動能英語turbulence kinetic energy的速率等於小尺度運動中耗散能量的速率。

湍流的能量譜

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湍流的能量譜 取決於單位質量流體的湍動能英語turbulence kinetic energy[2]

其中 是波動的速度的分量,上劃線表示系綜平均值,表達式在 上求和, 是波數。所以能量譜 表示的是位於波數 之間的湍動能。較大的渦流具有較低的波數,較小的渦流具有較高的波數。

因為擴散是速度的拉普拉斯,耗散速率可以用能量譜表示:

其中 是流體的運動粘度。在這條等式中可以觀察到,即使動能主要存在於低波數的運動(大渦流)中,耗散主要發生在高波數的運動(小渦流)中。

慣性子區中的能量譜

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從低波數到高波數的能量傳輸稱為能量串級。它把湍能量從大尺度運動傳輸到小尺度運動,並最終被黏度耗散掉。這之間的尺度區間,即慣性子區中,由柯爾莫哥洛夫的假設可以推導出能量譜的普遍形式:

各類條件下的大量實驗證據都支持這一結論。在實驗中測得的數值為 [2]

壓強波動的譜

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湍流中的壓強波動也可以以類似的方式描述。湍流中壓強平方的平均值可以用壓強譜 來表示:

對於沒有平均速度梯度的湍流(各向同性湍流),慣性子區中的譜是

其中 是流體的密度,[3]如果有平均速度梯度(剪切流英語shear flow),則會在慣性子區中的譜中額外附加形如 的變化趨勢;但在較高波數的位置,形如 的變化趨勢佔據主導地位。

自由流體界面微小擾動的譜

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自由流體界面下方的壓強波動可以驅動液面位移。這種自由界面-湍流相互作用也可以用波數譜來描述。如果 是界面距離平均位置的瞬時位移,位移平方的平均值可以用位移譜 來表示:

三維形式的壓強譜可以與楊-拉普拉斯公式相結合併得出[4]

在實驗中,這一 定律是在對無湍流射流表面的光學觀測中得出的。[4]

註釋

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  1. ^ Richardson, Lewis Fry. Weather Prediction by Numerical Processes. Boston: Cambridge University Press. 1922: 66 [2019-02-23]. ISBN 9780511618291. 
  2. ^ 2.0 2.1 Pope, S.B. Turbulent Flows. Cambridge University Press. 2000. 
  3. ^ George, W.K.; Beuther, P.D. & Arndt, R.E.A. Pressure spectra in turbulent free shear flows. Journal of Fluid Mechanics. November 1984, 148: 155–191. Bibcode:1984JFM...148..155G. S2CID 119938972. doi:10.1017/S0022112084002299. 
  4. ^ 4.0 4.1 Bhunia, S.K.; Lienhard V, J.H. Surface Disturbance Evolution and the Splattering of Turbulent Liquid Jets. Journal of Fluids Engineering. December 1994, 116 (4): 721–727. doi:10.1115/1.2911841. 

參考文獻

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