盒拓撲

在拓撲學中，拓撲空間的笛卡爾積上有數種不同可行的拓撲。其中一個較自然的選擇是盒拓撲（英語：box topology），其中基由組件空間中開集的笛卡爾積給出。 ^[1]另一種選擇是乘積拓撲，其中基也由組件空間中開集的笛卡爾積給出，但其中只有有限個開集嚴格小於整個組件空間。

雖然盒拓撲的定義比乘積拓撲更直觀，但它滿足的性質較少。特別地，如果所有組件空間都是緊湊的，則它們的笛卡爾積上的盒拓撲不一定是緊湊的，而它們的笛卡爾積上的乘積拓撲始終是緊湊的。一般而言，盒拓撲比乘積拓撲更精細，儘管在有限乘積的情況下（或當除了有限多個因子之外的所有因子都是平凡的時候），兩者是一致的。

定義

對於 $X$ 使得

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

或拓撲空間的（可能是無限的）笛卡爾積 $X_{i}$ ，索引為 $i\in I$ ，盒子拓撲 $X$ 由基

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}

生成。盒子這個名字來自於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的情況，因為其拓撲基中的開集看起來像盒子。乘積公間 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 的盒拓撲的有時用 ${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}$ 表示。

性質

考慮 $\mathbb {R} ^{\omega }$ 上的盒拓撲： ^[2]

盒拓撲是完全規則的
盒子拓撲既不緊湊也不連通
盒子拓撲不是第一可數的（因此不是可度量的）
盒子拓撲不可分離
如果連續統假設成立，則盒子拓撲是仿緊的（因此是正則的和完全正則的）

示例 -- 連續性

對可數個 $\mathbb {R}$ 的乘積 $\mathbb {R} ^{\omega }$ （例如由所有實數數列組成的集合），考慮 $\mathbb {R}$ 的常見拓撲以及 $\mathbb {R} ^{\omega }$ 的盒拓撲。定義

{\begin{cases}f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}

所有因子函數都是恆等函數，因而連續，但下面會證明 $f$ 並不連續。

考慮盒拓撲中的開集

U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)

，

如果 $f$ 連續，由於

f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,

由連續性的定義，存在 $\varepsilon >0$ 使得 $(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).$ 。但這意味着

f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,

然而對足夠大的正整數 $n>{\frac {2}{\epsilon }}$ ，有 ${\frac {\epsilon }{2}}>{\frac {1}{n}}$ 。所有即使所有因子函數都連續， $f$ 不連續。

示例 -- 緊湊性

同樣地考慮可數乘積空閶 $X=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ ，其中每個 $X_{i}=\{0,1\}$ 都為離散拓撲。則 $X$ 上的盒拓撲也是離散的。注意離散拓撲緊湊當且僅當該拓撲空間有限，所以即使所有因子空間都緊湊， $X$ 不緊湊。

$X$ 也不是序列緊空間：考慮 $X$ 中元素（可以視為序列）組成的序列 $\{x_{n}\}_{m=1}^{\infty }$

(x_{n})_{n}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}

由於序列中所有的元素都不同，該序列沒有極限點，因此 $X$ 不是序列緊的。

示例 -- 盒拓撲中的收斂

理解一個拓撲空間最好的方法之一是理解序列如何在該拓撲空間中收斂。一般地，空間 $X$ 關於自身及指標集 $S$ 的笛卡爾積是由 $S$ 到 $X$ 的函數空間，表示為 ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ 。積空間上的收斂等價於逐點收斂：函數序列 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 收斂當且僅當對所有 $s\in S$ ，每個函數在 $s$ 上的值組成的序列 $\{f_{n}(s)\}_{n=1}^{\infty }$ 收斂。

因為盒拓撲比積拓撲更加精細，盒拓撲的收斂條件會更為嚴格。假設 $X$ 是郝斯多夫空間， $X^{S}$ 上的函數序列 $(f_{n})_{n}$ 在盒拓撲中收斂於函數 $f\in X^{S}$ 當且僅當它逐點收斂至 $f$ ，同時存在有限子集 $S_{0}\subset S$ 及 $N$ 使得對所有 $n>N$ ， $X$ 中的序列 $(f_{n}(s))_{n}$ 在集合 $s\in S\setminus S_{0}$ 上是常數函數。^[3]

與乘積拓撲之異同

乘積拓撲中基中的開集的定義與上述盒拓撲幾乎相同，除了一個限制：除了有限個U _i之外，其他分量開集都等於整個分量空間X _i 。換言之，積空間中的拓撲基定義為

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i},U_{i}\subsetneq X_{i}{\text{ only for finitely many }}i\in I\right\}$ 。

乘積拓撲滿足關於分量空間的映射 $f_{i}:Y\rightarrow X_{i}$ 的一個非常理想的性質：由分量函數f _i定義的乘積映射 $f:Y\rightarrow X$ 連續若且唯若所有的 $f_{i}$ 都連續。然而這在盒拓撲中不總是成立。這使盒拓撲非常適用於構造反例—許多特性，例如緊湊性、連通性、可度量性等。即使所有因子空間都具有這些特性，在盒拓撲中通常不會保留。