在數學裏,尤其是在群表示理論裏,一個群表示的特徵標(character)是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏着群的許多重要性質,且因此可以用來做群的研究。
特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論,如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理,此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。
設V為一個域F上的有限維向量空間且設
為一個群G於V上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數
![{\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4df1d9dd605a6ee51ff279203a3836dddff723)
其中
為矩陣的跡數。
一個特徵標χρ若被稱為是不可約的,即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的,則表示ρ的維度等於1。χρ的核為集合
![{\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b1dff510648c99801ea56dd201080e6838bca9)
其中
是χρ在群單位元上的值。當ρ是G的k維表示且1為G的單位元時,
![{\displaystyle \chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9cbcdd2b38c1519dd855191913f1c7c4a3edd9)
和特徵標群的情況不同,一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。
在調和分析中,通常定義局部緊阿貝爾拓撲群
的特徵標為連續群同態
;在此,
表示單位圓構成的群,等價地說就是
。
部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態
,而將取值在
者稱作麼特徵標。其他人則保留原初定義,而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標。
的全體特徵標構成一個群
,群二元運算的定義是
,稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。
- 特徵標是一個類函數,即為對一個共軛類內的所有元素來說,χ會是個常數。
- 若一個表示可以是多個子表示的直和:
,則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和:
。
- 在有限群的情況下,每個特徵標
都是n個m次單位根之和,其中n為表示內域的維度,m則是g的階。
- 若F是代數封閉的且char(F)不可以整除G的階|,則G的不可約特徵標之數量等於G的共軛類數:
。
令
和
為G的兩個表示,則有下列的等式成立:
![{\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46df2a45d045b757a2957962028eda9cf730b114)
![{\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7de65cb0fe1d215307b08ab298574b1034e31cd)
![{\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f625844bda3e46eec88ff74a2b80364a9fa31b)
![{\displaystyle \chi _{{\textrm {Alt}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17573bb4531ba60aa66d0711fbdc9a870bbb2a1)
![{\displaystyle \chi _{{\textrm {Sym}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd6bebc4d647e85b1a665beda4c5e8a4621d109)
其中
為兩者的直和、
為兩者的張量積、
為
的共軛轉置、以及Alt稱為交替積
而Sym則稱為對稱方,其值由下式決定
.
設
為有限群,
為其子群,而
為 G 的表示,其特徵標記為
。令
為誘導表示
的特徵標;根據弗羅貝尼烏斯互反定理,對所有
的特徵標
,恆有下述等式
![{\displaystyle \langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi ),\eta \rangle _{G}=\langle \chi ,\eta |_{H}\rangle _{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146c62895804ae633c27fa412208bb39f6d752e0)
此等式可用來刻劃類函數
。事實上,若選定陪集分解
![{\displaystyle G=\bigcup _{t}Ht}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e74c8a1b70fa48c71d233a14d087572f69d2d7d)
還可以明確地寫下
的取值:
![{\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )(g)={\begin{cases}\sum _{tht^{-1}\in H}\chi (tht^{-1}),{\mbox{ if g is conjugate to some h}}\in H\\0,{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537a8e7a439e56b53f929d978a95e98d146beda6)
一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表,其蘊含着許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記着一個不可約特徵標且包含着此一特徵標在每個G的共軛類上的值。
下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表:
|
(1)
|
(u)
|
(u2)
|
1
|
1
|
1
|
1
|
χ1
|
1
|
u
|
u2
|
χ2
|
1
|
u2
|
u
|
其中的u為一個原三次單位根。
特徵標表總會是正方的,因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1,其對應至群的當然表示上。
有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有着正交關係。
對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出:
其中
表示
在g上的值的複數共軛。
對於此一內積而言,不可約特徵標兩兩正規正交:
對表中的列的正交關係則由下列給出:
- 對
,其和為![{\displaystyle {\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}1/\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 共 軛 }}\\0&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 不 共 軛 }}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7222fdbc08465acfa599e694b99025a4751287fe)
其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標
,而符號
則表示為g的共軛類之大小。
此一正交關係可以幫助許多的運算,如:
- 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
- 當只有一些不可約特徵標為可知時,建構其完整的特徵標表。
- 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。
- 求出群的階。
一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來:
- G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方:(χ(1))2的總和(伯恩賽德公式)。
- G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標,χ(1) = 1。
- G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g,會有χ(1) = χ(g)。
特徵標表通常不會將群分至同構:例如,四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。
對有限群之特別例子,詳見有限群表示理論。
一維表示的特徵標會形成一個特徵標群,其和數論中有着很重要的關連。