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漢娜·諾伊曼猜想

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群論中,漢娜·諾伊曼猜想是關於一個自由群的兩個有限生成子群的交的,1957年由漢娜·諾伊曼提出。[1]2011年伊戈爾·米涅耶夫(Igor Mineyev)[2]和喬爾·弗里德曼(Joel Friedman)[3]各自證明了這個猜想。

猜想敘述

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H, KF(X)是自由群F(X)的兩個非平凡有限生成子群, L = HK為其交,這個猜想指

rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).

其中對G,rank(G)為其,即G生成集合的最小大小。按尼爾森-施賴埃爾(Nielsen-Schreier)定理,自由群的子群也都是自由群,而自由群的秩等於任一個自由基底的大小。

歷史

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這個猜想的靈感來自Howson在1954年的一條定理。[4]他證明了一個自由群的任何兩個有限生成子群的交都是有限生成的,即是有有限秩。他並證明了若HK是自由群F(X)有限生成子群,其秩分別為n ≥ 1及m ≥ 1,那麼HK的秩s適合

s − 1 ≤ 2mnmn.

漢娜·諾伊曼在一篇1956年的論文中,[5]改進了上限

s − 1 ≤ 2mn2mn.

諾伊曼在1957年的附錄中,[1]把上限改進到

s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).

她又猜想上式右邊去掉因數2也成立,這就是以其命名的猜想。

參考

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  1. ^ 1.0 1.1 Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Addendum. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
  2. ^ Igor Minevev, "Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture."頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Ann. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414
  3. ^ Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture."頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) to appear in Memoirs of the AMS
  4. ^ A. G. Howson. On the intersection of finitely generated free groups. Journal of the London Mathematical Society, vol. 29 (1954), pp. 428–434
  5. ^ Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.