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歐拉公式

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歐拉公式(英語:Euler's formula,又稱尤拉公式)是複分析領域的公式,它將三角函數複指數函數關聯起來,因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出,對任意實數 ,都存在

其中 自然對數的底數虛數單位,而 則是餘弦正弦對應的三角函數,參數 則以弧度為單位[1]。這一複數指數函數有時還寫作 cis x (英語:cosine plus i sine,餘弦加i 乘以正弦)。由於該公式在 複數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式[2]

歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德·費曼將歐拉公式稱為:「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」[3]

時,歐拉公式變為,即歐拉恆等式

在複分析的應用

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這公式可以說明當 實數時,函數 可在複數平面描述一單位圓。且 為此平面上一條連至原點的線與正實軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡爾坐標系描述,歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 皆可記為

在此

為實部
為虛部
,其中

歷史

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約翰·伯努利注意到有[4]

並且由於

上述公式通過把自然對數和複數(虛數)聯繫起來,告訴我們關於複對數的一些資訊。然而伯努利並沒有計算出這個積分。

歐拉也知道上述方程,伯努利對歐拉的回應表明他還沒有完全理解複對數。歐拉指出複對數可以有無窮多個值。

與此同時,羅傑·柯特斯英語Roger Cotes於 1714 年發現[5]

由於三角函數的週期性,一個複數可以加上 2iπ 的不同倍數,而它的複對數可以保持不變。

1740年左右,歐拉把注意力從對數轉向指數函數,得到了以他命名的歐拉公式。歐拉公式通過比較指數的級數展開和三角函數得到(其實此證法存在問題,原因見驗證方法,但結論正確。),於1748年發表[6][5]

大約50年之後,卡斯帕爾·韋塞爾提出可以把複數視做複數平面中的點。

形式

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對於任意實數,以下等式恆成立:

由此也可以推導出

時,歐拉公式的特殊形式為

證明

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首先,在複數域上對進行定義:

對於,規定

複數的極坐標表示,有:

且根據狄默夫公式

從而有:

假設,則:

(由於包含n在冪,所以要ln)從而有:

這一步驟用到 墨卡托級數


即:

又有(arctan x 約等於x 於0附近):

從而可以證明:

即:

,可得歐拉公式。

證畢。[7]

驗證方法

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方法一:泰勒級數
把函數寫成泰勒級數形式:
代入可得:
方法二:求導法
對於所有,定義函數
由於
可知不可能為0,因此以上定義成立。
之導數為:
拉格朗日中值定理
因此必是常數函數
重新整理,即可得到:
方法三:微積分
找出一個原函數,使得
假設 ,有:
假設 ,有:
使用積分法,可得的原函數是以上兩個函數分別與任意實數的和,分別記為:
其中,和:是任意實數。
時,,觀察到:
所以,可以得出:

cis函數

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在複分析領域,歐拉公式亦可以以函數的形式表示

並且一般定義域,值域為(複數平面上的所有單位向量)。

當一複數的模為1,其反函數就是輻角arg函數)。

值為複數時,cis函數仍然是有效的,所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[2]

檢驗和角公式

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由於,則有

實部等於實部,虛部等於虛部,因此

參見

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參考資料

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  1. ^ Eulers Formula. 密蘇里科技大學. [2021-06-13]. (原始內容存檔於2020-02-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  3. ^ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  4. ^ Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289. 
  5. ^ 5.0 5.1 John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002 [2018-07-17]. (原始內容存檔於2019-06-04). 
  6. ^ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
  7. ^ 張築生. 数学分析新讲(第一册)第七章 4.实变复值函数. 北京大學出版社. 1990.