純量乘法
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「純量乘法」的各地常用名稱 | |
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中國大陸 | 標量乘法、數乘 |
臺灣 | 純量乘法、係數積 |
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純量乘法(英語:scalar multiplication)是線性代數中向量空間的一種基本運算[1][2][3](更廣義的,是抽象代數的一個模)[4][5])。在直覺上,將一個實數向量和一個正的實數進行純量乘法,也就是將其長度乘以此純量,方向不變。純量一詞也從此用法而來:可將向量縮放的量。純量乘法是將標量和向量相乘,結果得到一向量,和內積將兩向量相乘,得到一純量不同。
定義
[編輯]若K為體,而V為K上的向量空間,純量乘法為從K× V到V的函數。將K中的c和V中的v計算純量乘法,結果記為cv。
性質
[編輯]純量乘法符合以下的規則:(粗體表示向量)
- 純量的加成性:(c + d)v = cv + dv;
- 向量的加成性:c(v + w) = cv + cw;
- 純量相乘和純量乘法的結合律:(cd)v = c(dv);
- 乘以1不會改變向量:1v = v;
- 乘以0會得到零向量:0v = 0;
- 乘以-1會得到加法反元素:(−1)v = −v.
其中+表示體或是向量空間的加法,0是體或是向量空間的加法單位元
詮釋
[編輯]純量乘法可以視為是向量空間的外部二元運算或體的群作用。純量乘法的幾何詮釋是向量的拉長,方向可能會對調。
純量乘法中,V也可以是K,則純量乘法就變成體中的乘法。
若V是Kn,純量乘法等於向量中的每一個元素都和標量相乘,需另外定義。
若K是交換環而V是K上的模,同樣的定義仍可以適用。 K甚至可以是一個半環,但沒有加法反元素。若K不符合交換律,可以定義左純量乘法cv和右標量乘法vc。
相關
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.