林德曼-魏爾斯特拉斯定理(Lindemann–Weierstrass theorem)是一個可以用於證明實數的超越性的定理。它表明,如果
是代數數,在有理數 ℚ 內是線性獨立的,那麼
在 ℚ 內是代數獨立的;也就是說,擴張域
在 ℚ 內具有超越次數 n。
一個等價的表述是:如果
是不同的代數數,那麼指數
在代數數範圍內是線性獨立的。
這個定理由林德曼和魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對於任何非零的代數數
,
都是超越數,因此推出了圓周率是超越數。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結果。
這個定理,以及格爾豐德-施奈德定理,可以推廣為Schanuel猜想。
e和π的超越性是這個定理的直接推論。
假設
是一個非零的代數數,那麼
在有理數範圍內是線性獨立的集合,因此根據定理的第一種表述,
是一個代數獨立的集合,也就是說,
是超越數。特別地,
是超越數。
另外,利用定理的第二種表述,我們可以證明,如果
是一個非零的代數數,那麼
就是不同的代數數的集合,因此集合
在代數數範圍內是線性獨立的,特別地,
不能是代數數,因此一定是超越數。
現在,我們來證明
是超越數。如果π是代數數,
也是代數數(因為
是代數數),那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理,
(參見歐拉公式)也是超越數,這與1是代數數的事實矛盾。
把這個證明稍微改變以下,可以證明如果
是一個非零的代數數,那麼
、
、
和它們的雙曲函數也是超越數。
進數猜想
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進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想,就是這個定理在p進數中也成立:假設
是素數,
是
進數,它們都是代數數,且在ℚ內線性獨立,使得對於所有的
,都有
。那麼p進指數
在ℚ內是代數獨立的。
- Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X