「
開方」重新導向至此。關於古代人物,請見「
衛開方」。
在數學中,一數
為數
的
次方根,則
。在提及實數
的
次方根的時候,若指的是此數的主
次方根,則可以用根號(
)表示成
。例如:1024的主10次方根為2,就可以記作
。當
時,則
可以省略。定義實數
的主
次方根為
的
次方根,且具有與
相同的正負號的唯一實數
。在
是偶數時,負數沒有主
次方根。習慣上,將2次方根叫做平方根,將3次方根叫做立方根。
方根也是冪的分數指數,即數
為數
的
次方:
![{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cba550de4bc98864d27d841e706c860a5f0134)
最早的根號「√」源於字母「r」的變形(出自拉丁語latus的首字母,表示「邊長」),沒有線括號(即被開方數上的橫線),後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的,因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫。)。形成了現在所熟悉的開方運算符號
。
考慮在電腦中的輸入問題,有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。
帶有根號的運算可由如下公式推導而得:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42115473722e787897c604bed704f3e90a259505)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee57799587b579cf8415b960cda2937d540e845)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc11ef71f42b5d04e3b2d8874c4ccdcb9e35d5ca)
這裏的a和b是正數。
對於所有的非零複數
,有
個不同的複數
使得
,所以符號
就會出現歧義(通常這樣寫是取
個值當中主幅角最小的)。
次單位根是特別重要的。
當一個數從根號形式變換到冪形式,冪的規則仍適用(即使對分數冪),也就是
![{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf438628772ad772c4938461795811a9db28bd8)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9233d0188657506368092970f038ef63ae03f23)
![{\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333533d4020699d24324fed24a40cc027f726843)
例如:
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892d38375869d6b442afca1b64b8945b797a6344)
若要做加法或減法,需考慮下列的概念。
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4659d635deec0af59a8b22f140dedce969541f0)
若已可以簡化根式表示式,則加法和減法就只是群的「同類項」問題。
例如
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be258ffaf6be8b6ad28ae3eda5ebcf7560a747b)
![{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2be132eb543f356f4d32c4d396d37cb4e63c72)
![{\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94ad48474e6d8add3f10e2d1f044b28e1f3fa13)
![{\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb0d86b9cdf15d58dd225575188df89b60943aa)
未經化簡的根數,一般叫做「不盡根數」(surd),可以處理為更簡單的形式。
如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:
![{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568fd24018d0c7b94e56631a0bf38648474b38c3)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be205444236d9285236312c82e0cc3e93c49deb)
![{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a6fe99883dd2ee2bda43eab716e18d9bece3a9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a899046e5eb292877ba4ecdf12da6c8dd9c8fbe4)
方根可以表示為無窮級數:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc3530383862afc3effd32b23ca55c1243d892e)
任何數的所有的根,實數或複數的,可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式
(參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:
![{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85a6077d8b3c1b3c98317eecb0ce47a926a4549)
對於
,這裏的
表示
的主
次方根。
所有
或
的
次方根,這裏的
是正實數,的複數解由如下簡單等式給出:
![{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bbf0ec4a058a408d016bc4c013aeabd2d80008)
對於
,這裏的
表示
的主
次方根。
曾經有數學猜想,認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達;但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如,方程
![{\displaystyle \ x^{5}=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a816236f9ce5328fa12fe8dc79c10a35e4030dbd)
的解不能用根號表達。
要解任何n次方程,參見求根演算法。
對於正數
,可以通過以下演算法求得
的值:
- 猜一個
的近似值,將其作為初始值![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
- 設
。記誤差為
,即
。
- 重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即:
。
求
之值,亦即求方程
的根。
設
,其導函數即
。
以牛頓法作迭代,便得
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea5aa9e4b0a39382df25ae50dd18549802007a)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a27defaa8b07f41954fbf554ea83266f8066ad5)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a515602f4eb054244c39f1cda5a1980ab5dcc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77213fc47f1c355946993ee6eca67b05f76b594)
設
為迭代值,
為誤差值。
令
(*),作牛頓二項式展開,取首兩項:
調項得
將以上結果代回(*),得遞歸公式