反褶積

對哥白尼月坑之圖像進行反卷積前後，使用的是Richardson-Lucy演算法

反卷積（英語：deconvolution）又稱反卷積、反摺積或反濾波（英語：inverse filter），在數學上是卷積的反函數。卷積和反卷積這兩種運算都用於訊號處理和圖像處理。例如，用卷積進行濾波後用反卷積，也能以一定的精度恢復原始訊號。由於記錄訊號或圖像的測量誤差，可以證明信噪比（SNR）越差，反轉濾波器的效果就越差；因此，反轉濾波器並不總是一個好的解決方案，因為誤差會放大。反卷積為這一問題提供了解決方案。

反卷積需要大量的運算影像處理技巧，越來越多用在改善顯微鏡擷取數碼訊號的對比以及解像度上。有許多的演算法要改善或消除因為顯微鏡有限孔徑造成的影像模楜問題，而反卷積就是以這些演算法為基礎。

許多反卷積和時間序列的基礎源自麻省理工學院教授諾伯特·維納的著作Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series（1949年）中。此書於第二次世界大戰期間完成，以維納所做的研究為基礎，但當時被列為機密。天氣預報和經濟學是最早嘗試應用這些理論的領域。

描述

反褶積的目標一般而言是找到滿足以下方程的解$f$：

$f*g=h\,$

$h$是觀測數據，$f$是希望恢復的訊號。觀測數據$h$通常是$f$和濾波器或失真函數$g$的褶積，即$h$是$f$的失真版本，且不易直接在時域辨識。函數$g$代表觀測系統或物理系統的脈衝響應。如果知道$g$或它的形式，那麼就可以進行確定性（Deterministic）反褶積；反之，如果沒有關於$g$的先驗資訊，我們就需要對其進行估計。估計的方法包括統計估計方法、對潛在系統建模（例如電路方程或擴散方程）等。

有幾種去卷積技術，適用於不同測量誤差和去卷積參數的選擇。實際的觀測過程更接近：

$(f*g)+\varepsilon =h\,$

其中$\varepsilon$是觀測噪聲。如果將含噪數據當作無噪處理，對$g$的統計估計將是不準確的，對$f$的估計同樣不準確。信噪比越低，反褶積效果越差，這就是逆向濾波的效果通常不好的原因。如果對訊號中的噪聲分佈有先驗資訊（例如知道訊號中存在白噪聲），對$f$的估計就可以通過維納反褶積等方法提高。

在理想情況下（信噪比很高時），反褶積就是反濾波。原始反褶積可以在拉普拉斯域進行：計算觀測數據$h$和系統響應函數$g$的傅里葉變換，得到$H$和$G$，其中$G$是傳遞函數。此時：

$F=H/G\,$

最後，對$F$進行逆傅里葉變換，就可以得到通過反褶積得到的對原始訊號$f$的估計。需要注意的是，由於傳遞函數$G$在分母上，對系統建模產生的誤差會被放大。

應用

地震分析

地震分析中的反褶積是通過壓縮基本子波來提高地震數據垂向解像度的處理過程。在理想情況下，反褶積不但能壓縮子波長度而且能衰減多次波，最後在地震波上僅僅保留反射係數。形同地層反射面。這種地震數據處理方法是假設地下地層結構是一個反射係數的時間函數。當地震震源子波與反射係數褶積後，形成的反射波就是檢波器所接受的訊號。反褶積就是從訊號中，導出反射係數的時間函數。