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偽黎曼流形

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偽黎曼流形,也稱為半黎曼流形(英語:Pseudo-Riemannian manifold[1][2],在微分幾何中是指一光滑流形,其上有一光滑、對稱、點點非退化的 張量。此張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量

偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定(通常要求非退化)。因為每個正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量,亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。

每一個非退化對稱,雙線性形式有一個固定的度量符號。這裏記作正特徵值及負特徵值的個數。注意是流形的維數。黎曼流形就是以作為符號。

偽黎曼流形的符號稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外,洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有符號的洛倫茲流形的模型。

歐幾里得空間可以被認為是黎曼流形的模型一樣,,有平坦閔可夫斯基度量閔可夫斯基空間(Minkowski space) 是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的:

有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面,黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如,並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量;因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。

參考資料

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  1. ^ Benn & Tucker (1987), p. 172.
  2. ^ Bishop & Goldberg (1968), p. 208