代數擴張
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代數擴張(英語:Algebraic extension)是抽象代數中體擴張的一類。一個域擴張L/K被稱作代數擴張,當且僅當L中的每個元素都是某個以K中元素為系數的非零多項式的根。反之則稱之為超越擴張。最簡單的代數擴張例子有:、。
定義
[編輯]代數擴張的基礎是代數元的概念。給定體擴張L/K,L某個元素如果是一個以K中元素為系數的非零多項式的根,則稱其為K上的代數元。如果L中所有元素都是K上的代數元,就稱體擴張L/K為代數擴張。
次數
[編輯]設有體擴張L/K,L可以看作是K上的向量空間,將其維度稱作這個擴張的次數,記作[L:K]。有限次數的擴張(簡稱有限擴張)都是代數擴張;反之,給定一個代數擴張L/K,則L裏的任一元素α生成的子擴張K(α)/K都是K的有限擴張。但代數擴張本身並不一定是有限擴張,一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。
代數擴張與多項式的根
[編輯]在一個代數擴張L/K中,L中的每個元素α都是某個以K中元素為系數的多項式(以下簡稱K-多項式,所有K-多項式的集合記作K[X])f的根。所有以α為根的K-多項式中次數最低者稱作α的極小多項式(通常要求其為首一多項式,即最高次項系數等於一,以保證唯一性)。極小多項式總是不可約多項式。
若K-多項式f不可約,則商環L := K[X]/( f )是K的一個體擴張,它的次數[L : K] = deg(f),而且不定元X在商環中的像是在f的一個在L中的根,其極小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如就是在實數體中添加了虛數單位i得到的擴張體:複數體。
給定體擴張L/K,如果K-多項式f可以在L中分解成一次因子的積,則稱f在L中分裂。根據上述構造,總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂;K'裏滿足此性質的「最小」子擴張稱作f在K上的分裂體。f在K上的任兩個分裂體至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上的部分為恆等映射的環同構)。
正規擴張
[編輯]正規擴張是研究多項式的根時所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作正規擴張,當且僅當它滿足下述三個等價條件之一:
- 固定代數閉包Kalg,任何K上的(即在K上是恆等映射的)域嵌入σ : L → Kalg,都有σ(L) = L。
- 存在一族在L上分裂的多項式,使得L/K是在K中添加它們的根生成的體擴張。
- K[X]中任何不可約多項式若在L裏有根,則在L裏分裂(全部的根都在L裏面)。
正規擴張可以看作是體擴張語言中對多項式的刻畫。一個正規擴張對應着K[X]里的一個多項式。
例子
[編輯]- 在上的分裂體是。
- 在上的分裂體是。
- 在上的分裂體是。
- 是正規體擴張, 卻不是,因為後者並沒有包括的所有根,欠了。
可分擴張
[編輯]設L/K為代數擴張,如果α的極小多項式沒有重根,則稱α可分(重根的存在性與體擴張的選取無關,可分性等價於(f, f' ) = 1,這可以直接在K中計算)。所有可分元素形成一個中間域K⊂F⊂L,[L : K]s := [Ls : K]稱作L/K的可分次數。若Ls = ; L,則稱L/K是可分擴張。
當L/K是有限擴張時,定義不可分次數[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。當基體的特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限體的擴張也都是可分的。
參考文獻
[編輯]- Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X
外部連結
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