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不可及數

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不可及數Untouchable Number)是正整數,它們無法表示為任意一個正整數(包括自身)的全部真因數之和

比如5就是不可及數。5可以表示為1+4,這是唯一加數中有1,且加數沒有重覆的分解方。不過,如果4是某個數的因數,則2也是它的因數,因此1和4明顯不能是任何一個數所有的正因子,2也必須包括進來。5=2+3的分解方式不包括1,因此也是不符要求的。別的分解方式必然包括相同的數,因此也不符合要求。

相反的,4就不是不可及數,因為4可以表示為1+3,這是9的正因子(不考慮9本身)的和,因此4不是不可及數。

在線數列百科OEISA005114數列展示了遞增排列的不可及數:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保羅·艾狄胥證明了不可及數有無窮多個。

人們相信5應該是不可及數中唯一的奇數,但這尚未獲得證明。可以由稍強化的哥德巴赫猜想[1]得到此推論。如果這個猜想成立,那麼除了2和5,不可及數都應該是合數。

完全數顯然不是不可及數:完全數正好等於自身所有因子之和。

梅森數顯然不是不可及數:2的冪的真因數和正好等於梅森數。

質數進位由1組成的純位數顯然不是不可及數:質數冪的真因數和等於質數進位由1組成的純位數

不可及數不可能比質數多1:顯然任何質數p的平方的因子之和為p+1。

不可及數不可能比質數多3:顯然任何質數p的2倍的因子之和為p+3。

參考資料

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  1. ^ 即在原有條件下要求兩個質數不相同。請參看:Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W. Untouchable Number. MathWorld.