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規範叢

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數學中,域上n非奇異代數簇V規範叢線叢,是V餘切叢n外冪

複數上,它是全純餘切叢的行列式叢;等價地,它是V上全純n形式的線叢。這是V塞雷對偶性對偶化對象,同樣可視作可逆層

規範類V卡蒂埃除子K的除子類,產生了規範叢。規範類是V上線性等價的等價類,其中任何除子都可稱作規範除子

反規範叢是相應的逆叢V的反規範叢是豐沛的,則稱V法諾簇

伴隨公式

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X光滑簇DX上的光滑除子。伴隨公式將XD的規範叢關聯起來。這是個自然同構

用規範類表示就是

此式是代數幾何中最強大的公式之一。現代雙有理幾何的一個重要工具是逆伴隨,可以從D的奇點推導出X的奇點的結果。

規範叢公式

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X是正交面(normal surface)。Xg虧格纖維化是到光滑曲線的緊合平坦態射f,使,並且f的所有纖維f都有算術虧格g。若X是光滑射影面、f纖維不含自交的有理曲線,就稱纖維化是最小的(minimal)。例如,若X允許(最小)0虧格纖維化,則X就是雙有理規則的,即雙有理於。 對最小1虧格纖維化(也稱作橢圓纖維化,除有限多個纖維外,f的所有纖維都是幾何積分,且所有纖維都幾何連通(由扎里斯基連通性定理)。特別地,對f的纖維,有,其中X的規範除子,因此對,若,則F是幾何積分,否則

考慮最小1虧格纖維化。令是有限多纖維,且不是幾何積分,並記,其中展開為積分組分的係數的最大公除子。這些纖維稱作多重纖維(multiple fiber)。通過上同調與基變換可得,其中是可逆層,是扭層(支持,使得)。那麼

其中,且[1] 我們注意到

.

例如,對阿爾巴尼態射誘導的(准)雙橢圓曲面的最小1虧格纖維化,規範叢公式給出該纖維無多重纖維。對K3曲面的最小1虧格纖維,也可以做出類似的推論。另一方面,恩里克斯曲面的最小1虧格纖維總包含多重纖維,因此這樣的曲面不含截面。

奇異情形

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奇異簇X上有幾種方法可定義規範除子。若簇是正規的,則在余維度1上一定是光滑的。特別地,可在光滑軌跡(locus)上定義規範除子,這樣就可在X上得到唯一的韋伊除子,這個除子類記作,稱作X上的規範除子。

另外,同樣是在正規簇X上,可以考慮X的正規化對偶化復形的第d上同調。這個層對應於一個韋伊除子類,等於上面定義的除子類。在無正規性假設的情形下,若X是S2或1維葛侖斯坦環,結果也成立。

規範映射

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若規範類是有效的,則就確定了V到射影空間的有理映射,稱作規範映射(canonical map),由規範類的n倍確定的就稱作n-規範映射n-規範映射將V送到比n倍規範類的全局截面低1維的射影空間。n-規範映射可能有基點,就是說它們不是處處有定義的(即可能不是簇的態射)。它們可能有正維纖維,即使有0維纖維,也不一定是局部解析同構。

規範曲線

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研究得最好的是曲線。其中,規範叢與(全純)餘切叢相同。因此,規範叢的全局截面與處處規則(everywhere-regular)微分形式相同,經典上這些微分被稱作第一類微分。對虧格為g的曲線,規範類的度數為[2]

低虧格

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C是虧格為g的光滑代數曲線。若,則CP1,規範類是的類,其中PC的任一點。這源於微積分公式,例如黎曼球面上原點處有雙極點的亞純微分。特別地,及其倍數不是有效的。若,則C橢圓曲線是平凡叢。平凡叢的全局截面構成餓了1維向量空間,因此對任意nn規範映射就是到一點的映射。

超橢圓情形

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C的虧格大於等於2,則規範類一般很大,因此任意n-規範映射的像都是曲線。1-規範映射的像稱作規範曲線。虧格為g的規範曲線總位於維數為的射影空間中。[3]C超橢圓曲線時,規範曲線是有理正規曲線,而C是其規範曲線的雙覆蓋。例如,若P是度數為6的多項式(無重根),則

是虧格2曲線的仿射曲線表示,必然是超橢圓曲線,第一類微分的基用同樣的符號可表為

.

這意味着,齊次坐標作為到射影線的態射,給出了規範映射。虧格更高的超橢圓曲線的有理正規曲線也以同樣方式產生,x的冪次為高次單項式。

一般情形

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否則,對非超橢圓的C(即g大於3),態射是C與其像之間的同構,後者的次數為。因此對,規範曲線(非超橢圓情形)是四次平面曲線。所有非奇異四次平面曲線都這樣產生。時,規範曲線是二次曲面三次曲面的交;時,規範曲線是3個二次曲面的交。[3]黎曼-羅赫定理有個反向推論:虧格為g的非奇異曲線C嵌入維度為的射影空間,只要其線性張成了整個空間,就可成為度數為線性正規曲線。事實上,規範曲線Cg不小於3的非超橢圓情形)、黎曼-羅赫定理和特殊除子理論的關係相當近。C上不同點組成的有效除子D在規範嵌入中具有維數與所屬線性系統的維數直接相關的線性跨度(span),經過更多討論,這也適用於具有重點的情形。[4][5]

對更大的g,可以獲得更精細的信息,但這時規範曲線一般不是完全交,描述時需要更多考慮交換代數。這領域始於馬克斯·諾特定理:經過C的二次曲面嵌入為規範曲線的維數為[6]佩特里定理是卡爾·佩特里(1881–1955)於1923年發表的,指出g不小於4時定義規範曲線的齊次理想由其2階元素生成,例外是(a) 三角曲線;(b) 時的非奇異四次平面曲線。例外中,理想由2階和3階元素生成。歷史上看,這一結果在佩特里之前就已廣為人知,稱作巴貝奇-Chisini-Enriques定理。這結果也稱作諾特–Enriques定理,因此術語上比較混亂。諾特證明超橢圓情形之外(用現代語言來說)規範叢是正規生成(normally generated)的:規範叢的截面空間的對稱冪映射到其張量冪的截面上。[7][8]比如,這說明由第一類微分生成這類曲線上的二次微分,這對局部Torelli定理有影響。[9]佩特里的研究實際上提供了理想(ideal)的二次、三次生成器,表明除了特殊情形外,三次可用二次表示。特殊情形下,通過規範曲線的二次交分別是直紋曲面維羅納曲面

這些經典結果是在複數上證明的,但現代討論表明,這些技術適用於任何示性的域。[10]

規範環

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V規範環分次環

V的規範類是豐沛線叢,則規範環是規範映射的像的齊次坐標環V的規範類不豐沛也成立。例如,若C是超橢圓曲線,則規範環還是規範映射的像的齊次坐標環。總之,若上面的環是有限生成的,則很容易看出它是k-規範映射(k是任意充分可分的正整數)的像的齊次坐標環。 最小模型綱領(minimal model program)提出,每個光滑或輕度其一射影簇的規範環都是有限生成的。特別地,眾所周知,這意味着存在規範模型(即V的一個具有輕度奇點的特殊雙有理模型)。若規範環是有限生成的,則規範模型是規範環的Proj。若規範環不是有限生成的,則就不是簇,因此對V不是雙有理的;特別地,V不允許規範模型。可以證明,若V的規範除子Knef除子、K自交數為正,則V將接納一個規範模型(更一般地說,這對正規完全戈倫斯坦代數空間是正確的[11])。[12] Birkar–Cascini–Hacon–McKernan (2006)[13]的一個基本定理是:光滑或輕度奇異的射影代數簇的規範環是有限生成的。

V小平維度是規範環的維度減一。這裡的規範環維度是克魯爾維數超越度

另見

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注釋

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  1. ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 111. ISBN 9780387986685. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (編), canonical class, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ 3.0 3.1 Parshin, A. N., Canonical curve, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  4. ^ Geometric Form of Riemann-Roch | Rigorous Trivialities. 2008-08-07. 
  5. ^ Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces (1995), Ch. VII.
  6. ^ David Eisenbud, The Geometry of Syzygies (2005), p. 181-2.
  7. ^ Iskovskih, V. A., Noether–Enriques theorem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  8. ^ Igor Rostislavovich Shafarevich, Algebraic geometry I (1994), p. 192.
  9. ^ Hazewinkel, Michiel (編), Torelli theorems, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  10. ^ http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf, pp. 11-13.
  11. ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 242. ISBN 9780387986685. 
  12. ^ Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 123. ISBN 9780387986685. 
  13. ^ 09w5033: Complex Analysis and Complex Geometry | Banff International Research Station.