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複對數

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複對數的一個分支。其色相表示複對數的輻角(極坐標下相對原點的角度),其顏色的飽和度及亮度表示複對數的絕對值圖片的檔案頁中有列出其顏色對應的數值

複對數(英語:Complex logarithm)為自然對數延伸到非零複數的函數,是以下兩個定義中的一個,這兩個定義彼此也密切相關:

  • 非零複數的複對數,定義為可以使的任意複數[1][2]。此複數可以表示為[1]。若極坐標表示為,其中是實數,,則的一個複對數,的所有複對數會是,其中的為整數[1][2]。對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列。
  • 複數值函數,定義在集合中非零複數中的一個子集合,滿足,針對裡的所有。這樣的複數函數類似實數的自然對數函數,後者是實數指數函數反函數,因此針對所有的正實數x,可以滿足eln x = x。複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立,用的積分,或是用解析延拓的方式建立。

沒有在整個複數域均有定義的連續複指數函數。處理此問題的方式包括分支英語Branch point、相關的黎曼曲面、以及複數指數函數的部份反函數(partial inverse)。主值(principal value)定義了特定的複指數函數,除了在負實數軸之外都連續。是不考慮負實數和0的複平面。這是(實數)自然對數的解析延拓

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Ahlfors, Section 3.4.
  2. ^ 2.0 2.1 Sarason, Section IV.9.

書目

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