數域

數域是近世代數學中常見的概念，指對加減乘除四則運算封閉的代數系統。通常定義的數域是指複數域$\mathbb {C}$的子域。「數域」一詞有時也被用作代數數域的簡稱，但兩者的定義有細微的差別。

定義

設${\mathcal {P}}$是複數域$\mathbb {C}$的子集。若${\mathcal {P}}$中包含0與1，並且${\mathcal {P}}$中任兩個數的和、差、乘積以及商（約定除數不為0）都仍在${\mathcal {P}}$中，就稱${\mathcal {P}}$為一個數域。用域論的話語來說，複數域的子域是為數域。

任何數域都包括有理數域$\mathbb {Q}$，但並不一定是$\mathbb {Q}$的有限擴張，因此數域不一定是代數數域。例如實數域$\mathbb {R}$和複數域$\mathbb {C}$都不是代數數域。反之，每個代數數域都同構於某個數域。

例子

除了常見的實數域$\mathbb {R}$和複數域$\mathbb {C}$以外，通過在有理數域中添加特定的無理數進行擴張得到的擴域也是數域。例如所有形同：

$a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q}$

的數的集合，就是一個數域。可以驗證，任何兩個這樣的數，它們的和、差、乘積以及商（約定除數不為0）都能寫成$a+b{\sqrt {2}}$的形式，故仍然在集合之中。這個集合記作$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$，是有理數域$\mathbb {Q}$的二次擴域。

可構造數

可構造數也叫規矩數，指的是從給定的單位長度開始，能夠通過有限次標準的尺規作圖步驟做出的長度數值。所有可構造數的集合記為${\mathcal {C}}$，是一個數域。因為給定了兩個已經做出的線段後，可以通過符合尺規作圖規定的手段，在有限步內作出長度為兩者長度之和、差、乘積以及商的線段。${\mathcal {C}}$是$\mathbb {Q}$的擴域，次數為無限大，是實數域$\mathbb {R}$的子域。

代數數

代數數指能夠成為某個有理係數多項式的根的數。所有代數數的集合記作${\mathcal {A}}$，是一個數域。${\mathcal {A}}$也常被稱為代數數域，但與定義為「$\mathbb {Q}$的有限擴張」的代數數域是不同的概念。不過，每個$\mathbb {Q}$的有限擴張生成的域都可看作是$\mathbb {Q}$中加入某個代數數擴成的，所以都是${\mathcal {A}}$的子域。可構造數構成的數域${\mathcal {C}}$也是${\mathcal {A}}$的子域。由於虛數單位i也是代數數，所以${\mathcal {A}}$不是$\mathbb {R}$的子域。另一方面，自然對數的底e以及圓周率π都不是代數數，所以$\mathbb {R}$也不是${\mathcal {A}}$的子域。