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扎里斯基曲面

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數學的一個分支 代數幾何中,扎里斯基曲面(Zariski surface)是指 特徵 p > 0的 上的一個曲面,使得存在從 射影平面 到該曲面的一個度數為p的優勢不可分映射。 特別是,所有扎里斯基曲面都是 單有理 的。 1977年Piotr Blass用 奧斯卡·扎里斯基 的名字來命名了該曲面,因為扎里斯基在1958年使用這種曲面給出了特徵p > 0的單有理曲面的例子,而這個曲面不是有理的。 (相比特徵為0的情況下, 卡斯泰定理 意味着所有單有理曲面都是有理的。)

扎里斯基曲面 雙有理仿射空間 A3 中由 不可多項式 定義的曲面

經過長達43年的努力,奧斯卡·扎里斯基在1971年提出的下述問題得到解決:令 S 為一個幾何虧格為0的扎里斯基曲面。 那麼 S 一定是一個有理曲面嗎?對於 p =2和 p =3,回答是否定的:1977年Piotr Blass在他的 密歇根大學 博士論文,和1978年William E.Lang在他的哈佛大學博士論文中都證明了這一點。 Kentaro Mitsui (2014 宣布了進一步的例子,在所有特徵p>0都對扎里斯基問題給出了否定回答。但是,他的方法在那時是非構造性的,我們無法得到p>3時的顯式方程。

參考文獻

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