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垂線偏差

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藍色直線為過交點的垂線方向,紅色直線為過交點的法線方向,兩者間的差異即為垂線偏差

垂線偏差(英語:Vertical deflection)指地球表面上某一點處垂線方向和法線方向的差異,也即重力異常矢量的方向。[1]垂線偏差可以表示為當地天文坐標地理坐標之間的差異,其中前者在水準面上通過重力測量的方式確定,而後者是天文坐標投影橢球面上的位置。對垂線偏差的數學描述通常以法線為基準。[2]

數學表達

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大地水準面上一點,其所處的垂線方向為 ,通過重力測量方式測得的天文坐標為 。將其沿參考橢球面法線 投影至橢球面上的點 ,得到其地理坐標為 。在實際測量過程中,常以其在南北方向(即子午圈方向)上的投影 和其在東西方向(即卯酉圈方向)上的投影 描述:

與重力異常和重力擾動的關係

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點處測量得到的真實重力矢量,而 點處計算得到的正常重力矢量,則 點處的重力異常矢量為:[1]

又設 點處測量得到的正常重力矢量為 ,則 點處的重力擾動矢量為:[1]

重力異常矢量和重力擾動矢量的方向同為垂線偏差的方向,因為 兩點的正常重力方向在同一條直線上。

與大地水準面高的關係

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大地水準面高即為兩點間的距離 ,垂線偏差亦可表示為大地水準面高的泛函。以一過垂線的垂直面截取點 ,垂線偏差在此平面內的分量 大地水準面高 大地水準面上的弧微分 存在如下幾何關係:

習慣上取沿法線向下的方向為正,因此上式中的 為負值。又因垂線偏差的分量 是微小量,即 ,因此上式也可寫成:

再以地球平均半徑 替代點 在各法截面上的曲率半徑,得到大地水準面上弧微分的近似計算公式為

分別取垂直面分別與子午圈平行(即 )和與卯酉圈平行(即 ),得到垂線偏差的兩個分量與大地水準面高的關係為:[2]

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 104–108 [2020-04-02]. (原始內容 (PDF)存檔於2020-04-13). 
  2. ^ 2.0 2.1 寧津生. 管澤霖 , 編. 地球形状及外部重力场. 測繪出版社. 1981: 243–249.