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哈恩-巴拿赫定理

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泛函分析中,哈恩-巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間,並說明了存在「足夠」的連續線性泛函,定義在每一個賦範向量空間,使對偶空間的研究變得有趣味。這個定理以漢斯·哈恩斯特凡·巴拿赫命名,他們在1920年代後期獨立證明了這個定理。

表述

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定理的最一般的表述需要一些準備。給定標量實數域或複數域)上的一個向量空間,一個函數稱為次線性的,如果:

可以很容易證明,上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函數也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理說明,如果是一個次線性函數,子空間上的一個線性泛函,滿足:

那麼存在φ到整個空間的一個線性擴張,也就是說,存在一個線性泛函ψ,使得:

以及:

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的,定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法:在無窮維空間的情形中,它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把的次線性條件稍微減弱,只需要:

根據(Reed and Simon, 1980)。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。

重要的結果

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這個定理有一些重要的結果,其中有些也有時稱為「哈恩-巴拿赫定理」:

  • 如果V是一個賦范向量空間,其子空間為U(不一定是閉的),且φ : UK是連續和線性的,那麼存在φ的一個擴張ψ : VK,也是連續和線性的,且範數與φ相同(關於線性映射的範數的討論,參見巴拿赫空間)。也就是說,在賦范向量空間的範疇中,空間是一個內射對象
  • 如果V是一個賦范向量空間,其子空間為U(不一定是閉的),且zV的一個元素,不在U閉包內,那麼存在一個連續線性映射ψ : VK,對於U內的所有x都滿足ψ(x) = 0,ψ(z) = 1,且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫分離定理

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哈恩-巴拿赫定理的另外一種形式,稱為哈恩-巴拿赫分離定理[1][2]它在凸幾何中有許多用途。[3]

定理:為 上的一個拓撲向量空間 是 的非空凸子集。假設。那麼:

  1. 如果是開集,那麼存在一個連續線性映射和 ,使得對於所有的,都有 
  2. 如果 是局部凸的, 是緊集,且 是閉集,那麼存在一個連續線性映射 和 ,使得對於所有的,都有 

與選擇公理的關係

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前面已經提到,從選擇公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而,反過來不成立。注意超濾子引理比選擇公理更弱,但從它也可以推出哈恩-巴拿赫定理(反過來則不行)。實際上,哈恩-巴拿赫定理還可以用比超濾子引理更弱的假設來證明。[4]對於可分巴拿赫空間,Brown和Simpson證明了哈恩-巴拿赫定理可以從WKL0——一個二階算術的弱子系統推出。[5]

參見

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注釋

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  1. ^ Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分離定理頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),Aarhus University, 高等分析講座頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  2. ^ Gabriel Nagy, 實分析頁面存檔備份,存於網際網路檔案館講座頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  3. ^ R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.
  4. ^ D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.
  5. ^ D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).

參考文獻

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  • Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.