泊松分布
機率質量函數 橫軸是索引k,發生次數。該函數隻定義在k為整數的時候。連接線是只為了指導視覺。 |
累積分布函數 橫軸是索引k,發生次數。CDF在整數k處不連續,且在其他任何地方都是水平的,因為服從泊松分布的變量只針對整數值。 |
參數 |
λ > 0(實數) |
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值域 |
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機率質量函數 |
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累積分布函數 |
,或,或
(對於,其中是不完全Γ函數,是高斯符號,Q是規則化Γ函數) |
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期望值 |
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中位數 |
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眾數 |
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變異數 |
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偏度 |
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峰度 |
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熵 |
(假設較大)
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動差母函數 |
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特徵函數 |
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機率母函數 |
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泊松分布(法語:loi de Poisson;英語:Poisson distribution)又稱Poisson分布、泊松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小數法則(Poisson law of small numbers),是一種統計與概率學裡常見到的離散機率分布,由法國數學家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發表。
泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數,電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數、雷射的光子數分布等等。(單位時間內發生的次數,可以看作事件發生的頻率,類似物理的頻率)。
泊松分布的機率質量函數為:
泊松分布的參數是隨機事件發生次數的數學期望值。
若服從參數為的泊松分布,記為,或記為.
1、服從泊松分布的隨機變量,其數學期望與方差相等,同為參數 :
2、兩個獨立且服從泊松分布的隨機變量,其和仍然服從泊松分布。更精確地說,若 且 ,則。反過來若兩個獨立隨機變量的和服從卜瓦松分布,則這兩個隨機變量經平移後皆服從卜瓦松分布(Raikov定理)。
3、其動差母函數為:
期望值:(倒數第三至第二是使用泰勒展開式)
我們可以得到:
如同性質:、
相互獨立的卜瓦松分佈隨機變數之和仍服從卜瓦松分佈:
在二項分布的伯努利試驗中,如果試驗次數很大,二項分布的概率很小,且乘積比較適中,則事件出現的次數的概率可以用泊松分布來逼近。事實上,二項分布可以看作泊松分布在離散時間上的對應物。
證明如下。首先,回顧自然對數的定義:
二項分布的定義:
- 。
如果令, 趨於無窮時的極限:
給定個樣本值,希望得到從中推測出總體的泊松分布參數的估計。為計算最大似然估計值,列出對數似然函數:
解得λ從而得到一個駐點(stationary point):
檢查函數的二階導數,發現對所有的與大於零的情況二階導數都為負。因此求得的駐點是對數似然函數的極大值點:
對某公共汽車站的客流做調查,統計了某天上午10:30到11:47來到候車的乘客情況。假定來到候車的乘客各批(每批可以是1人也可以是多人)是互相獨立發生的。觀察每20秒區間來到候車的乘客批次,共觀察77分鐘*3=231次,共得到230個觀察記錄。其中來到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的觀察記錄分別是100次、81次、34次、9次、6次。使用極大似真估計(MLE),得到的估計為。
一個用來生成隨機泊松分布的數字(偽隨機數抽樣)的簡單算法,已經由高德納給出(見下文參考):
algorithm poisson random number (Knuth):
init:
Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
do:
k ← k + 1.
Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
while p > L.
return k − 1.
儘管簡單,但複雜度是線性的,在返回的值,平均是。還有許多其他算法來克服這一點。有些人由Ahrens和Dieter給出,請參閱下面的參考資料。同樣,對於較大的值,可能導致數值穩定性問題。對於較大值的一種解決方案是拒絕採樣,另一種是採用泊松分布的高斯近似。
對於很小的值,逆變換取樣簡單而且高效,每個樣本只需要一個均勻隨機數u。直到有超過的樣本,才需要檢查累積概率。
algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search:[1]
init:
Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p.
Generate uniform random number u in [0,1].
do:
x ← x + 1.
p ← p * λ / x.
s ← s + p.
while u > s.
return x.
- Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, 1: 21–28 [2017-10-30]. (原始內容存檔於2018-02-21).
- Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions. Computing. 1974, 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108.
- Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Generation of Poisson Deviates. ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997.
- Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers. The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6. SIAM Review. 1988, 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059.
- Donald E. Knuth. Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Volume 2. Addison Wesley. 1969.