种树问题

  关于算术应用题，请见植树问题。

安排的九点(相关的冠毛配置)形成3点线。

在离散几何中，原始的果园种植问题要求的是在一个平面中过定点的3点线的可达到的最大数量。它也被称为植树造林问题，或只简称为果园问题。也可以是研究有多少k点线可以存在。Hallard T.克罗夫特和埃尔德什·帕尔证明了t_k > c n² / k³，n是点的数量并且t_k是k点线的数量。

他们的构造物包含了一些m-点线，其中m>k。你也可以问，如果这些是不允许的问题。

整数序列

定义t₃^果园(n)为过n定点可达到的3点线的最大数量。

在1974年，对于任意的正整数点n、t₃^果园(n)被证明是(1/6)n² − O(n)。

第一个t₃^果园(n)的数值在右表中（OEIS数列A003035）.

n	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
t3果园(n)	1	2	4	6	7	10	12	16	19	22	26

上极限和下极限

由于没有两个直线可以共同经过两个不同点，一个平凡的3点线的数量上限由以下n点的情况确定

$\left\lfloor {\binom {n}{2}}{\Big /}{\binom {3}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}-n}{6}}\right\rfloor .$

事实是数的2点线至少是6n/13 (Csima & Sawyer 1993)，该上限可以降低到

$\left\lfloor {\frac {{\binom {n}{2}}-6n/13}{3}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}}{6}}-{\frac {25n}{78}}\right\rfloor .$

t₃^果园(n)的下限由通过定点的许多的3点线的构造给出。最早的二次方程式下限-(1/8)n²由西尔维斯特给出，他在三次曲线y = x³放了n个点。这在1974年由 Burr, Grünbaum, and Sloane （1974）采用一个魏尔斯特拉斯椭圆函数基础上的结构改善至[(1/6)n² − (1/2)n] + 1。一个Füredi & Palásti (1984)建立的圆内螺线基本的构造取得了相同的下限。

在2013年九月, Ben Green和陶哲轩发表的一篇论文中，他们证明了所有的点集必然的大小，n > n₀，至多有([n(n - 3)/6]  + 1) = [(1/6)n² − (1/2)n + 1] 3点线，其中相应的下限由Burr, Grünbaum和Sloane确立。 这有一个比直接从他们的紧的下限得出的2点线的数n/2要略胜一筹的极限：[n(n − 2)/6]，分别由Gabriel Andrew Dirac和Theodore Motzkinproved 在相同的论文中和解决一个1951问题以独立地身份证明。

参考文献

• Brass, P.; Moser, W. O. J.; Pach, J., Research Problems in Discrete Geometry, Springer-Verlag, 2005, ISBN 0-387-23815-8 .
• Burr, S. A.; Grünbaum, B.; Sloane, N. J. A., The Orchard problem, Geometriae Dedicata, 1974, 2 (4): 397–424, doi:10.1007/BF00147569 .
• Csima, J.; Sawyer, E., There exist 6n/13 ordinary points, Discrete and Computational Geometry, 1993, 9: 187–202, doi:10.1007/BF02189318 .
• Füredi, Z.; Palásti, I., Arrangements of lines with a large number of triangles, Proceedings of the American Mathematical Society, 1984, 92 (4): 561–566, JSTOR 2045427, doi:10.2307/2045427 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Orchard-Planting Problem. MathWorld.