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有理曲面

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代数几何里,有理曲面(rational surface)是指一个双有理等价投影平面的曲面;换句话说,即为一个二维有理簇。有理曲面是复曲面的十馀种恩里克斯-小平分类中最简单的一类,且是第一个被研究的曲面。

结构

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每个非奇异曲面均可透过重复拉开最小有理曲面而取得。最小有理曲面可为投影平面,或希策布鲁赫平面 Σr,其中 r = 0 或 r ≥ 2。

不变量:有理曲面的正则亏格均为0,其基本群均是平凡的。

霍奇钻石

1
0 0
0 1+n 0
0 0
1

其中,n 等于 0 时为投影平面,等于 1 时为希策布鲁赫曲面,大于 1 时则为其他有理曲面。

除了希策布鲁赫曲面 Σ2m 为偶么模格 II1,1 之外,皮卡群均为奇么模格 I1,n

卡斯特尔诺沃定理

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吉多·卡斯特尔诺沃证明,任一复曲面,若使得 q 及 P2(不规则点及第二正则亏格)均消失,则该曲面为有理曲面。该定理被用于恩里克斯-小平分类中,以识别有理曲面。扎里斯基于1958年证明,卡斯特尔诺沃定理在特征为正的体上亦成立[1]

卡斯特尔诺沃定理也意指任一单有理复曲面都是有理曲面,因为若一复曲面为单有理曲面,则其不规则点与正则亏格会小于有理曲面的不规则点与正则亏格,因此均为 0,所以该曲面为有理曲面。大多数三维以上的单有理复簇都不是有理曲面。在特征 p > 0 时,扎里斯基于1958年发现,不是有理曲面,但为单有理曲面(扎里斯基曲面)之例子[1]

曾有一段时间不知道 q 及 P1 均消失的复曲面是否均为有理曲面,直到费德瑞格·恩里克斯找到一个反例(称为恩里克斯曲面)为止。

有理曲面的例子

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另见

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315, ISSN 0019-2082, MR 0099990