本条目中，向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
在经典力学 里，拉普拉斯-龙格-冷次向量 （Laplace–Runge–Lenz vector；简称为LRL向量 ）主要是用来描述，当一个物体环绕著另外一个物体运动时，轨道 的形状与取向 。典型的例子是行星的环绕著太阳公转 。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力 相互作用，则LRL向量必定是一个运动常数 ，不管在轨道的任何位置，计算出来的LRL向量都一样[ 1] 保守量 。更广义地，在克卜勒问题 里，由于两个物体以连心力 相互作用，而连心力遵守平方反比定律 ，所以，LRL向量是一个保守量[ 2]
氢原子 是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律 的静电力 互相作用．静电力是一个标准的平方反比 连心力 。所以，氢原子 内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学 的发展初期，薛丁格 还在思索他的薛丁格方程式 的时候，沃夫冈·包立 使用LRL向量，关键性地推导出氢原子的发射光谱 [ 3]
在经典力学 与量子力学 里，因为物理系统的某一种对称性 ，会产生 一个或多个对应的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相对应的对称性很特别；在数学里，开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维球面 [ 4] [ 5]
拉普拉斯-龙格-冷次向量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 、卡尔·龙格 与威廉·楞次 而命名。它又称为拉普拉斯向量 ，龙格-冷次向量 ，或冷次向量 。有趣的是，LRL向量并不是这三位先生发现的！这向量曾经被重复地发现过好几次[ 6] 天体力学 中无因次 的离心率向量 [ 7] 狭义相对论 ，或电磁场 ，甚至于不同类型的连心力 。
在一个物理系统里，在任意保守 的连心力 的作用下（参阅保守力 ），一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数 ；能量 与角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
分量 皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
力中心点 的位置到粒子位置的位移
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
⋅
L
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}
LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 时，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[ 1]
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 ，则
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
定义 一个广义LRL向量，但是，这广义向量通常并没有解析解 ，假若有，也会是一个非常复杂的函数[ 8] [ 9]
在重要的开普勒问题中，LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
天文轨道 ，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次[ 6] 雅各布·赫尔曼 最先发表了关于LRL向量的论文。在推导一个轨道方程式的过程中，他计算出LRL向量的大小，
A
{\displaystyle A}
[ 10] 椭圆 轨道离心率 的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·白努利 ，他的恩师。白努利又更进一步地推导出LRL向量的方向。这样，LRL向量得到了它的现代形式[ 11]
在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 又重新地发现了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法[ 12] 威廉·哈密顿 推导出全等的离心率向量 [ 7] 速端曲线 显示出，粒子动量向量的头部呈圆形移动[ 13] 约西亚·吉布斯 ，应用向量分析 ，推导出同样的向量[ 14] 卡尔·龙格 将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于向量的，德文教科书内，成为其中的一个例题[ 15] 威廉·楞次 发表了一篇关于氢原子 的旧量子论 的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考[ 16] 沃尔夫冈·包立 用LRL向量与矩阵力学 ，而不是薛丁格方程式 ，来推导氢 原子 的光谱 [ 3]
图1:在平方反比连心力 的作用下，一个移动中的粒子，在椭圆轨道的四点（标记为1, 2, 3,与4）的LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
力中心点 表示为一个小黑点；从这黑点，位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
×
L
{\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }
m
k
r
^
{\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比 连心力
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} (r)}
F
(
r
)
=
−
k
r
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
其中，
k
{\displaystyle k}
r
^
=
r
r
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}
单位向量 ，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
位置向量 ，
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
感受到此力的作用，一个粒子的轨道运动，其LRL向量的数学定义方程式为[ 1]
A
=
p
×
L
−
m
k
r
^
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }
其中，
m
{\displaystyle m}
质量 ，
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
动量 ，
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
角动量 。
由于平方反比连心力为保守力 ，能量
E
=
p
2
2
m
−
k
r
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}}
运动常数 ：
d
E
d
t
=
p
m
p
˙
+
k
r
2
r
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}}{\dot {p}}+{\frac {k}{r^{2}}}{\dot {r}}=0}
再者，角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
×
L
{\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
这个单独粒子的LRL向量定义，也可以延伸至像开普勒问题一类的二体问题，只需要设定质量
m
{\displaystyle m}
约化质量 ，设定位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
同样的运动常数可以有很多种不同的表述．最常见的一种牵涉到离心率向量 。定义离心率向量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
m
k
{\displaystyle mk}
[ 7] [ 17]
e
=
A
m
k
=
1
m
k
(
p
×
L
)
−
r
^
{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} }
图2：这是图1的简化版，角
θ
{\displaystyle \theta }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
开普勒问题的运动轨道，其形状与取向 ，可以用LRL向量决定[ 1]
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
A
⋅
r
=
A
r
cos
θ
=
r
⋅
(
p
×
L
)
−
m
k
r
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}
其中，
θ
{\displaystyle \theta }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
置换 其三重积 ，
r
⋅
(
p
×
L
)
=
L
⋅
(
r
×
p
)
=
L
⋅
L
=
L
2
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\mathbf {L} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}
所以，
A
r
cos
θ
=
L
2
−
m
k
r
{\displaystyle Ar\cos \theta =L^{2}-mkr}
编排成圆锥曲线 的方程式形式：
1
r
=
m
k
L
2
(
1
+
A
m
k
cos
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
离心率
e
{\displaystyle e}
e
=
A
m
k
=
|
A
|
m
k
{\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}
开普勒轨道与能量的关系可以由LRL向量推导出。
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
⋅
A
=
(
p
×
L
−
m
k
r
^
)
⋅
(
p
×
L
−
m
k
r
^
)
=
p
2
L
2
+
m
2
k
2
−
2
m
k
r
^
⋅
(
p
×
L
)
=
(
2
m
E
+
2
m
k
r
)
L
2
+
m
2
k
2
−
2
m
k
r
L
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} &=(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\\&=p^{2}L^{2}+m^{2}k^{2}-2mk{\hat {\mathbf {r} }}\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )\\&=\left(2mE+{\frac {2mk}{r}}\right)L^{2}+m^{2}k^{2}-{\frac {2mk}{r}}L^{2}\\\end{aligned}}}
。 所以，
A
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
稍微编排，离心率的平方
e
2
{\displaystyle e^{2}}
E
{\displaystyle E}
e
2
=
1
+
2
L
2
m
k
2
E
{\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E}
假若能量
E
{\displaystyle E}
束缚轨道 ），则离心率小于1，这轨道是椭圆 形轨道。相反地，假若能量是正值的（非束缚轨道 ，又称为散射轨道 ）则离心率大于1，这轨道是双曲线 轨道。最后，假若能量等于零，则离心率等于1，这轨道是抛物线 轨道。对于所有状况，LRL向量与圆锥曲线的对称轴平行，而且从力中心点 指向近拱点 。
图3 :在平方反比连心力作用下，随著粒子的轨道运动，使用速端曲线图，固定动量向量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
y -轴，py -座标为
A
/
L
{\displaystyle A/L}
m
k
/
L
{\displaystyle mk/L}
假设一个粒子在做轨道运动。其速度向量的物理行为可以用速端曲线 显示出来，而动量是速度乘以质量。所以，速端曲线也可以显示出动量的物理行为。在平方反比连心力作用下，速端曲线（图3）显示出，粒子的动量向量的头部呈圆形移动；这事实可以用LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[ 13] [ 6]
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
叉积 ：
L
2
p
=
L
×
A
−
m
k
r
^
×
L
{\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} }
设定xyz参考系的圆点在力中心点 ，
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
半长轴 同轴。则
p
x
2
+
(
p
y
−
A
/
L
)
2
=
(
m
k
/
L
)
2
{\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}}
换句话说，动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
m
k
/
L
{\displaystyle mk/L}
(
0
,
A
/
L
)
{\displaystyle (0,\ A/L)}
克卜勒问题 的对称性 。
夹角
η
{\displaystyle \eta }
y -轴。很显然地，离心率等于
cos
η
{\displaystyle \cos \eta }
p
0
=
2
m
|
E
|
{\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}}
在克卜勒问题里，两个向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
E
{\displaystyle E}
A
⋅
L
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}
A
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
由于有上述两个关系公式，这物理系统一共有五个独立的运动常数 。这结果与设定粒子轨道所需的六个初始条件（粒子的初始位置向量与初始速度向量，每一个向量有三个分量）相符合，原因是运动常数不涉及初始时间（视六个初始条件函数的参数为自变量 初始时间。用其中的一个初始条件函数除去这自变量；将此初始条件函数当作一个自变量，则剰馀五个初始条件函数，函数的参数为新自变量）。
因为运动方程式 是二阶微分方程，一个拥有
d
{\displaystyle d}
自由度 的物理系统，需要
2
d
{\displaystyle 2d}
初始条件 来设定解答。由于运动常数不涉及初始时间，这物理系统最多只能拥有
2
d
−
1
{\displaystyle 2d-1}
运动常数 。一个拥有超过
d
{\displaystyle d}
超级可积分系统 ；而一个拥有
2
d
−
1
{\displaystyle 2d-1}
最大超级可积分系统 [ 18] 哈密顿-亚可比方程式 的解答，采用任意一种坐标系统，最多只能求得
d
{\displaystyle d}
[ 19]
克卜勒问题拥有三个自由度（
d
=
3
{\displaystyle d=3}
球坐标 或抛物线坐标 ，哈密顿－亚可比方程式都是可积分的[ 20] 解释 。最大超级可积分系统可以用对易关系 来量子化 ，这论据，稍后也会又更明了的说明 [ 21]
图5：椭圆轨道的慢进动 ，离心率
e
=
0.667
{\displaystyle e=0.667}
进动 就会发生 只有在一个标准的平方反比 连心力 下，粒子的LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 ，而可能会含有别种微扰 的连心力；称其负值不定积分 为微扰势 ，标记为
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
慢进动 。假若微扰势
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
保守的 连心势，也就是说，总能量
E
{\displaystyle E}
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle A}
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
h
(
r
)
=
−
h
r
n
{\displaystyle h(r)=-\ {\frac {h}{r^{n}}}}
其中，
h
{\displaystyle h}
n
≤
2
{\displaystyle n\leq 2}
用正则微扰理论 与作用量-角度座标 ，可以直接地推导出LRL向量的转动率是[ 1]
Ω
¯
=
∂
∂
L
⟨
h
(
r
)
⟩
=
∂
∂
L
{
1
T
∫
0
T
h
(
r
)
d
t
}
=
∂
∂
L
{
m
T
L
∫
0
2
π
r
2
h
(
r
)
d
θ
}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Omega }}={\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,\mathrm {d} t\right\}\\&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{TL}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,\mathrm {d} \theta \right\}\\\end{aligned}}}
； 其中，
T
{\displaystyle T}
恒等式
L
d
t
=
m
r
2
d
θ
{\displaystyle Ldt=mr^{2}\mathrm {d} \theta }
⟨
h
(
r
)
⟩
{\displaystyle \langle h(r)\rangle }
这方法曾经被用来证实爱因斯坦 的广义相对论 。广义相对论在常见的牛顿万有引力 项目外，又添加了一项小的反立方微扰[ 22]
h
(
r
)
=
k
L
2
m
2
c
2
(
1
r
3
)
{\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}
将此函数代入积分。再代入
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
1
r
=
m
k
L
2
(
1
+
A
m
k
cos
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
就可以计算出这非牛顿微扰所产生的近拱点 进动率[ 22]
Ω
¯
=
6
π
k
2
T
L
2
c
2
{\displaystyle {\bar {\Omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}}
计算出的答案准确地符合实验观测到的水星 进动 数据[ 23] 双重 脉冲星 数据[ 24] 广义相对论 的强证[ 25] [ 26]
角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
i
{\displaystyle L_{i}}
帕松括号 是[ 1]
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
其中，指标
i
,
j
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i,\ j=1,\ 2,\ 3}
直角座标系 的三个座标
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
ϵ
i
j
s
{\displaystyle \epsilon _{ijs}}
列维-奇维塔符号 ；在这里，为了避免与力强度的标记
k
{\displaystyle k}
s
{\displaystyle s}
定义一个与LRL向量成比例的向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
2
m
|
E
|
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {2m\left|E\right|}}}}
向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[ 27]
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
双曲线 轨道），或负值（在平方反比连心力作用下，产生闭合地椭圆 轨道）有关。假若总能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
−
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
反之，假若总能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
由于以下这三个帕松括号方程式，
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
如果总能量
E
{\displaystyle E}
旋转群 SO(4)。
假若总能量
E
{\displaystyle E}
卡西米尔不变量
C
1
,
C
2
{\displaystyle C_{1},\ C_{2}}
C
1
=
D
⋅
D
+
L
⋅
L
=
m
k
2
2
|
E
|
{\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}
C
2
=
D
⋅
L
=
0
{\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}
而且，卡西米尔不变量与
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
{
C
1
,
D
i
}
=
{
C
2
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0}
还有，卡西米尔不变量与
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
{
C
1
,
L
i
}
=
{
C
2
,
L
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=0}
既然两个向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
C
2
{\displaystyle C_{2}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
m
{\displaystyle m}
k
{\displaystyle k}
E
{\displaystyle E}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
D
i
{\displaystyle D_{i}}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
量子力学 的正则对易关系 ，就可以推导出类氢原子 的原子能级 ，而不必用到的薛丁格方程式 。
图6：从LRL向量算符与角动量算符的对易关系，预测出来的氢原子的原子能级。各种实验都准确地证实这些能级正确无误。 帕松括号提供了一个简易的方法来正则量子化 经典系统。两个量子算符 的对易关系 等于
i
ℏ
{\displaystyle i\hbar }
[ 28] 卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
本征值 ，沃尔夫冈·包利 成功地推导出类氢原子 的原子能级 （参阅图6），以及其发射光谱 [ 3] 薛丁格方程式 成立之前[ 29]
LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
叉积 必须仔细地加以定义[ 27]
A
k
≡
−
m
e
α
r
^
k
+
1
2
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
(
p
i
l
j
+
l
j
p
i
)
{\displaystyle A_{k}\equiv -m_{e}\alpha {\hat {r}}_{k}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right)}
其中，
m
e
{\displaystyle m_{e}}
α
=
e
2
4
π
ϵ
0
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}}
e
{\displaystyle e}
单位电荷量 ，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
真空电容率 。
这定义有一个特性：指标
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
=
−
m
e
α
r
^
+
1
2
(
p
×
L
−
L
×
p
)
{\displaystyle \mathbf {A} =-m_{e}\alpha {\hat {r}}+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} )}
那么，其对应的哈密顿算符 是
H
=
p
2
2
m
e
−
α
r
{\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {\alpha }{r}}}
与
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
−
2
m
e
H
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {-2m_{e}H}}}}
请注意，由于哈密顿算符的本征值是负值，所以公式内的平方根是个实数。
经过一番繁冗的运算，可以求得对易关系：
{
L
i
,
L
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{L_{i},\,L_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
L
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
D
k
{\displaystyle \{L_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}D_{k}}
{
D
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{D_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
H
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{H,\,D_{i}\}=0}
定义第一阶张量 算符 为
J
0
≡
D
3
{\displaystyle J_{0}\equiv D_{3}}
J
±
1
≡
∓
1
2
(
D
1
±
i
D
2
)
{\displaystyle J_{\pm 1}\equiv \mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(D_{1}\pm iD_{2}\right)}
一个归一化 的第一卡西米尔算符可以同样地定义为
C
1
≡
D
2
+
L
2
=
m
e
α
2
−
2
H
−
ℏ
2
{\displaystyle C_{1}\equiv \mathbf {D} ^{2}+\mathbf {L} ^{2}={\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{-2H}}-\hbar ^{2}}
注意到
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
{
J
+
1
,
J
−
1
}
=
i
{
D
1
,
D
2
}
=
−
ℏ
L
3
{\displaystyle \{J_{+1},J_{-1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\}=-\hbar L_{3}}
应用维格纳-埃卡特定理 （Wigner-Eckart theorem ），
J
0
|
l
,
m
⟩
=
i
l
2
−
m
2
C
l
|
l
−
1
,
m
⟩
−
i
(
l
+
1
)
2
−
m
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
⟩
{\displaystyle J_{0}|l,\,m\rangle =i{\sqrt {l^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m\rangle -i{\sqrt {(l+1)^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m\rangle }
J
+
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
−
m
)
(
l
−
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
+
1
⟩
−
i
(
l
+
m
+
1
)
(
l
+
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
+
1
⟩
{\displaystyle J_{+1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l-m)(l-m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m+1\rangle -i{\sqrt {(l+m+1)(l+m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle }
J
−
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
+
m
)
(
l
+
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
−
1
⟩
−
i
(
l
−
m
+
1
)
(
l
−
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
−
1
⟩
{\displaystyle J_{-1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l+m)(l+m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m-1\rangle -i{\sqrt {(l-m+1)(l-m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m-1\rangle }
其中，
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
角量子数 为
l
{\displaystyle l}
磁量子数 为
l
{\displaystyle l}
本征态 ，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
经过一番运算，
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
{
J
+
1
,
J
−
1
}
|
l
,
m
⟩
=
−
m
[
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
]
|
l
,
m
⟩
=
−
ℏ
L
3
|
l
,
m
⟩
=
−
m
ℏ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}
。 所以，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
递回关系 是
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
=
ℏ
2
{\displaystyle (2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}=\hbar ^{2}}
假设
C
l
2
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}^{2}}
l
>
0
{\displaystyle l>0}
l
{\displaystyle l}
l
m
a
x
{\displaystyle l_{max}}
|
l
m
a
x
+
1
,
⟩
{\displaystyle |l_{max}+1,\,\ \rangle }
C
l
m
a
x
+
1
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}+1}=0}
C
l
m
a
x
=
ℏ
2
2
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}}={\frac {\hbar ^{2}}{2l_{max}-1}}}
n
=
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle n=l_{max}-1}
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
C
l
=
n
2
−
l
2
4
l
2
−
1
ℏ
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}={\sqrt {\frac {n^{2}-l^{2}}{4l^{2}-1}}}\ \hbar }
这个
n
{\displaystyle n}
主量子数 。先计算
D
2
{\displaystyle D^{2}}
D
2
|
n
,
l
,
m
⟩
=
[
J
+
1
J
−
1
+
J
−
1
J
+
1
+
J
0
2
]
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
l
2
−
l
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}
。 所以，第一卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle |n,\,l,\,m\rangle }
C
1
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
D
2
+
L
2
)
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle C_{1}|n,\,l,\,m\rangle =(D^{2}+L^{2})|n,\,l,\,m\rangle =(n^{2}-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle }
第一卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
{\displaystyle (n^{2}-1)\hbar ^{2}}
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
原子能阶 的简并 [ 27]
E
n
=
−
m
e
α
2
2
ℏ
2
n
2
=
−
m
e
e
4
2
n
2
(
4
π
ϵ
0
)
2
ℏ
2
{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2n^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}}
这就是著名的氢原子 波耳公式 。
在克卜勒问题里，LRL向量的保守性对应于系统的一种微妙的对称性 。在经典力学 里，对称性可以由连续运算显示出来；这连续运算可以将一个轨道映射 至另外一个轨道，而同时保持系统的能量不变。在量子力学 里，连续运算将同能级 原子轨域 混合在一起，也就是说，（简并原子能级 ）。
通常，对于每一个对称性都会存在有一个保守量[ 1] 连心力 系统必对称于旋转群 SO(3) ；因而指引出角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
经典力学 里，整个系统的旋转不会影响轨道的能量。在量子力学 里，假若旋转只混合角量子数 相同的球谐函数 ，则系统的能量不会改变。
图7：同能量的动量的速端曲线家族。每一个圆圈都经过在px -轴上，同样的两点
±
p
0
=
±
2
m
|
E
|
{\displaystyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}}
阿波罗尼奥斯圆 ，和双极坐标 的
σ
{\displaystyle \sigma }
坐标曲面 。 平方反比连心力系统的对称性是更高维与更微妙的。这奇特的对称性是由角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
氢原子 的能级跟角量子数
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
更高维空间 ，使得这对称性更加的微妙；这类的对称性常称为隐秘对称性 [ 30]
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
s
(
l
=
0
)
{\displaystyle s(l=0)}
p
(
l
=
1
)
{\displaystyle p(l=1)}
原子轨域 的混合。这种混合是不能用普通的三维平移运算或旋转运算达成的。可是，这种混合等价于高维度空间的旋转。
在一个束缚（bounded）系统里，能量是负值的，这高维对称群 是SO(4)；特性是四维向量的长度保持不变：
|
e
|
2
=
e
1
2
+
e
2
2
+
e
3
2
+
e
4
2
{\displaystyle \left|\mathbf {e} \right|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}}
1935年，弗拉基米尔·福克 表明，在量子力学里，束缚的克卜勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维单位球 [ 4] 薛丁格 波函数 是球谐函数 的球极平面投影 。圆球的旋转与重复射影造成了椭圆轨域的连续映射 ，同时维持能量不变；这对应于主量子数
n
{\displaystyle n}
华伦泰·巴格曼 注意到，跟LRL向量成比例的向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
帕松括号 形成SO(4)的李代数 [ 5]
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
在一个非束缚（unbound），散射 系统里，能量是正值的，对应的高维对称群 是SO(3,1)；其特性是保持四维矢量 的闵考斯基长度 不变：
d
s
2
=
e
1
2
+
e
2
2
+
e
3
2
−
e
4
2
{\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}}
连心力系统（包括克卜勒问题的那些系统）的轨道对于反射 也具有对称性。所以，轨道的完全对称群并不是前面所提的SO(3) 、SO(4)、SO(3,1)群；而分别是O(3) 、O(4) 、O(3,1)。然而，只需要连通 子群 SO(3)、SO(4)、SO(3,1)来展示出角动量与LRL向量的保守性；反射对称性与保守性不相关。保守性可以由群的李代数 推导出来[ 31] [ 32]
图8：图7的动量的速端曲线对应于
η
{\displaystyle \eta }
三维单位球 的大圆线 的球极平面投影 。每一个大圆线都与
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
w
{\displaystyle w}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
α
{\displaystyle \alpha }
离心率
e
=
s
i
n
α
{\displaystyle e=sin\ \alpha }
克卜勒问题 与四维旋转对称性SO(4)的关联可以很容易地观察出来[ 31] [ 33] [ 34] 直角座标 为
(
w
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (w,\ x,\ y,\ z)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
三维单位球 的四维向量
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
p
2
−
p
0
2
p
2
+
p
0
2
w
^
+
2
p
0
p
2
+
p
0
2
p
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} }
； 其中，
w
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }
很简单地，可以核对
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
η
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
从
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
映射 有一个独特唯一的逆反；例如，动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
x
=
p
0
η
x
1
−
η
w
{\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
球极平面投影 ，其比例因子为
p
0
{\displaystyle p_{0}}
选择一个合适的直角座标，使z-轴与角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
取向 如同图7，圆心包含于y-轴。这样，不失广义性，就可以观察到这旋转对称性。由于粒子的运动包含于一个平面，
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
z
=
η
z
=
0
{\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}
η
^
=
(
η
w
,
η
x
,
η
y
)
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}=(\eta _{w},\ \eta _{x},\ \eta _{y})}
阿波罗尼奥斯圆 家族对应于在三维单位球
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
大圆线 家族。每一个大圆线与
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
=
±
1
{\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}
p
x
=
±
p
0
{\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
η
y
{\displaystyle \eta _{x}\eta _{y}}
α
{\displaystyle \alpha }
取任意一个大圆线
η
y
{\displaystyle \eta _{y}}
(
η
w
,
0
,
η
y
,
0
)
{\displaystyle (\eta _{w},\ 0,\ \eta _{y},\ 0)}
p
x
=
0
{\displaystyle p_{x}=0}
p
y
=
p
=
(
A
+
m
k
)
/
L
{\displaystyle p_{y}=p=(A+mk)/L}
η
y
=
cos
(
α
)
=
2
p
0
p
y
p
y
2
+
p
0
2
{\displaystyle \eta _{y}=\cos(\alpha )={\frac {2p_{0}p_{y}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}}
经过一番运算，代入
p
0
{\displaystyle p_{0}}
sin
(
α
)
=
p
y
2
−
p
0
2
p
y
2
+
p
0
2
=
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
|
E
|
L
2
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
|
E
|
L
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {p_{y}^{2}-p_{0}^{2}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}\\&={\frac {(A+mk)^{2}-2m|E|L^{2}}{(A+mk)^{2}+2m|E|L^{2}}}\\\end{aligned}}}
。 给予一个束缚轨道，能量是负值的：
sin
(
α
)
=
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
E
L
2
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
E
L
2
=
A
m
k
=
e
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {(A+mk)^{2}+2mEL^{2}}{(A+mk)^{2}-2mEL^{2}}}\\&={\frac {A}{mk}}=e\\\end{aligned}}}
。 所以，离心率
e
=
sin
(
α
)
{\displaystyle e=\sin(\alpha )}
α
{\displaystyle \alpha }
正弦函数 。
由于图7的动量的速端曲线对应于
η
{\displaystyle \eta }
η
w
{\displaystyle \eta _{w}}
采用椭圆柱坐标
χ
,
ψ
,
ϕ
{\displaystyle \chi ,\ \psi ,\ \phi }
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
作用量-角度座标 解答[ 35]
η
w
=
c
n
χ
c
n
ψ
{\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }
η
x
=
s
n
χ
d
n
ψ
cos
ϕ
{\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }
η
y
=
s
n
χ
d
n
ψ
sin
ϕ
{\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }
η
z
=
d
n
χ
s
n
ψ
{\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }
其中，
s
n
,
c
n
,
d
n
{\displaystyle \mathrm {sn} ,\,\mathrm {cn} ,\,\mathrm {dn} }
雅可比椭圆函数 。
以下几种导引可以证明，在平方反比连心力下，LRL向量守恒。
假设，一个连心力
f
(
r
)
r
^
{\displaystyle f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}
牛顿第二定律 ，运动方程式为
d
p
d
t
=
f
(
r
)
r
^
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}
其中，
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
t
{\displaystyle t}
由于在连心力下，角动量
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
d
d
t
L
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {L} =0}
所以，
d
d
t
(
p
×
L
)
=
d
p
d
t
×
L
=
f
(
r
)
r
^
×
(
r
×
m
d
r
d
t
)
=
f
(
r
)
m
r
[
r
(
r
⋅
d
r
d
t
)
−
r
2
d
r
d
t
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}
代入以下恒等式 ：
r
⋅
d
r
d
t
=
1
2
d
d
t
(
r
⋅
r
)
=
1
2
d
d
t
(
r
2
)
=
r
d
r
d
t
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(r^{2}\right)=r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}}
可以得到方程式，
d
d
t
(
p
×
L
)
=
−
m
f
(
r
)
r
2
[
1
r
d
r
d
t
−
r
r
2
d
r
d
t
]
=
−
m
f
(
r
)
r
2
d
d
t
(
r
r
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}
代入平方反比连心力的方程式
f
(
r
)
=
−
k
r
2
{\displaystyle f(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}}
d
d
t
(
p
×
L
)
=
m
k
d
d
t
(
r
r
)
=
d
d
t
(
m
k
r
^
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)}
所以，在平方反比连心力下，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
d
d
t
A
=
d
d
t
(
p
×
L
)
−
d
d
t
(
m
k
r
^
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=0}
哈密顿-雅可比方程式 的可分性也可以用推导出LRL向量的恒定性[ 20] [ 36] 抛物线座标
(
ξ
,
η
)
{\displaystyle (\xi ,\ \eta )}
ξ
=
r
+
x
{\displaystyle \xi =r+x}
η
=
r
−
x
{\displaystyle \eta =r-x}
其中，
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\ y)}
直角座标 ，
r
{\displaystyle r}
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
逆反过来，
x
=
1
2
(
ξ
−
η
)
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(\xi -\eta \right)}
y
=
ξ
η
{\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}}
则克卜勒问题的哈密顿量 为
H
=
1
2
m
x
˙
2
+
1
2
m
y
˙
2
−
k
r
=
2
ξ
p
ξ
2
m
(
ξ
+
η
)
+
2
η
p
η
2
m
(
ξ
+
η
)
−
2
k
ξ
+
η
{\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}-{\frac {k}{r}}\\&={\frac {2\xi p_{\xi }^{2}}{m(\xi +\eta )}}+{\frac {2\eta p_{\eta }^{2}}{m(\xi +\eta )}}-{\frac {2k}{\xi +\eta }}\\\end{aligned}}}
； 其中，
p
ξ
,
p
η
{\displaystyle p_{\xi },\ p_{\eta }}
广义座标
ξ
,
η
{\displaystyle \xi ,\ \eta }
由于克卜勒问题的势函数只跟广义座标有关，哈密顿量是个能量运动常数，
H
=
E
{\displaystyle H=E}
2
ξ
p
ξ
2
−
m
k
−
m
E
ξ
=
−
2
η
p
η
2
+
m
k
+
m
E
η
{\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-2\eta p_{\eta }^{2}+mk+mE\eta }
这公式的左手边与右手边分别跟不同的广义座标有关，所以，两边都相等于一个运动常数 ，标记为
Γ
{\displaystyle \Gamma }
2
ξ
p
ξ
2
−
m
k
−
m
E
ξ
=
−
Γ
{\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\Gamma }
2
η
p
η
2
−
m
k
−
m
E
η
=
Γ
{\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\Gamma }
思考LRL向量的
x
{\displaystyle x}
A
x
=
p
y
(
x
p
y
−
y
p
x
)
−
m
k
x
r
=
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
−
m
k
+
m
η
k
r
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}\\&=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}-mk+m\eta {\frac {k}{r}}\\\end{aligned}}}
。 代入能量方程式
E
=
1
2
m
v
2
−
k
r
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}}
A
x
=
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
+
1
2
m
2
v
2
η
−
m
k
−
m
E
η
{\displaystyle A_{x}=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta -mk-mE\eta }
这公式右手边，前三个项目，经过一番计算，可以得到
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
+
1
2
m
2
v
2
η
=
m
2
8
η
˙
2
(
η
+
ξ
)
2
η
=
2
η
p
η
2
{\displaystyle xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta ={\frac {m^{2}}{8}}{\dot {\eta }}^{2}{\frac {(\eta +\xi )^{2}}{\eta }}=2\eta p_{\eta }^{2}}
所以，
A
x
{\displaystyle A_{x}}
A
x
=
Γ
{\displaystyle A_{x}=\Gamma }
LRL向量的保守性与前面所提的旋转对称性，两者之间的关系，可以用诺特定理 来做连结分析。诺特定理也可以用来辨明LRL向量是运动常数 。诺特定理表明[ 37] 广义坐标
q
i
{\displaystyle q_{i}}
δ
q
i
=
ϵ
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
拉格朗日量
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
变分
δ
L
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}
δ
L
=
ϵ
d
d
t
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(\mathbf {q} ,\ t)}
则必存在保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
−
G
+
∑
i
g
i
(
∂
L
∂
q
˙
i
)
{\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)}
其中，
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle G(\mathbf {q} ,\ t)}
更具体地，在一个克卜勒问题里，试设定坐标
x
i
{\displaystyle x_{i}}
δ
x
i
=
ϵ
2
[
2
p
i
x
s
−
x
i
p
s
−
(
r
⋅
p
)
δ
i
s
]
{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}
其中，
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,\ 2,\ 3}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
i
{\displaystyle i}
δ
i
s
{\displaystyle \delta _{is}}
克罗内克尔δ ，
s
{\displaystyle s}
由于克卜勒问题的拉格朗日量是
L
=
∑
i
(
1
2
m
x
˙
i
x
˙
i
)
+
k
r
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}\right)+{\frac {k}{r}}}
其运动方程式 为
m
x
¨
i
+
k
x
i
r
3
=
0
{\displaystyle m{\ddot {x}}_{i}+k{\frac {x_{i}}{r^{3}}}=0}
对应于坐标
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
˙
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{i}}
δ
x
˙
i
=
ϵ
2
[
2
p
˙
i
x
s
−
x
i
p
˙
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
−
(
r
⋅
p
˙
)
δ
i
s
]
=
ϵ
2
[
−
k
r
3
x
i
x
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
+
k
r
δ
i
s
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}
。 拉格朗日量取至一阶的变分是
δ
L
=
∑
i
(
∂
L
∂
x
i
δ
x
i
+
∂
L
∂
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
=
∑
i
(
−
k
x
i
r
3
δ
x
i
+
m
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {L}}&=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\&=\sum _{i}\left(-{\frac {kx_{i}}{r^{3}}}\delta x_{i}+m{\dot {x}}_{i}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\\end{aligned}}}
。 代入
δ
x
i
{\displaystyle \delta x_{i}}
δ
x
˙
i
{\displaystyle \delta {\dot {x}}_{i}}
δ
L
=
ϵ
m
k
d
d
t
(
x
s
r
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)}
再代入保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
p
2
x
s
−
p
s
(
r
⋅
p
)
−
m
k
x
s
r
=
[
p
×
L
−
m
k
r
^
]
s
{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}
而这正是LRL向量的
s
{\displaystyle s}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
图9:推导出LRL向量保守性的李变换。当这比例参数
λ
{\displaystyle \lambda }
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
诺特定理 精致地推导出LRL向量的保守性。美中不足地，这导引有一个弱点：坐标变分
δ
x
i
{\displaystyle \delta x_{i}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
[ 38] 索菲斯·李 创建的方法来推导，可以除去这弱点[ 39] [ 40] 李变换 [ 30]
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
→
λ
3
t
,
r
→
λ
2
r
,
p
→
1
λ
p
{\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\ \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\ \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }
这变换改变了角动量
L
{\displaystyle L}
E
{\displaystyle E}
L
→
λ
L
,
E
→
1
λ
2
E
{\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\ E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}
可是，仍旧保持乘积
E
L
2
{\displaystyle EL^{2}}
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
2
{\displaystyle A^{2}}
A
2
=
m
2
k
2
e
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
由于半短轴 与半长轴 的取向不因整体的比例变换而改变，LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
克卜勒第三定律 也仍旧成立：半长轴
a
{\displaystyle a}
T
{\displaystyle T}
T
2
/
a
3
{\displaystyle {T^{2}}/{a^{3}}}
LRL向量可以推广至其他状况；可以用来辨认在其他状况下的保守值。
假设，一个物理系统里，存在著电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
[ 20] [ 41]
A
=
A
+
m
q
2
[
(
r
×
E
)
×
r
]
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}
其中，
q
{\displaystyle q}
电荷量 。
最广义的LRL向量的形式可以表达为[ 8]
A
=
(
∂
ξ
∂
u
)
(
p
×
L
)
+
[
ξ
−
u
(
∂
ξ
∂
u
)
]
L
2
r
^
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }
其中，
u
=
1
r
{\displaystyle u={\frac {1}{r}}}
伯特兰定理 ），
ξ
=
cos
θ
{\displaystyle \xi =\cos \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
=
L
∫
u
d
u
m
2
c
2
(
γ
2
−
1
)
−
L
2
u
2
{\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}\left(\gamma ^{2}-1\right)-L^{2}u^{2}}}}}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma }
劳仑兹因子 。
如同前面所提，计算
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
副法线向量
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
=
L
×
A
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}}
综和两个向量成为一个保守的并矢张量
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
W
=
α
A
⊗
A
+
β
B
⊗
B
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}}
举例说明，计算一个非相对论性，均向性谐振子 的LRL向量。由于作用力是连心力 ，
F
(
r
)
=
−
k
r
{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
并矢张量 可以表达为一个简单的形式：
W
=
1
2
m
p
⊗
p
+
k
2
r
⊗
r
{\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }
其相应的LRL向量必较复杂
A
=
1
m
r
2
ω
0
A
−
m
r
2
E
+
L
2
{
(
p
×
L
)
+
(
m
r
ω
0
A
−
m
r
E
)
r
^
}
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\}}
其中，
ω
0
=
k
m
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
不同于动量与角动量，并没有学术界一致认同的LRL向量定义；在科学文献里，存在有几种不同的比例因子与符号。前面所述的定义是最普遍的定义。另外一种常见的定义，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
k
{\displaystyle mk}
离心率向量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
e
=
1
m
k
(
p
×
L
)
−
r
^
=
m
k
(
v
×
L
)
−
r
^
{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} }
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
离心率向量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
离心率 。
别种比例的版本也可能会用到。例如，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
{\displaystyle m}
M
=
v
×
L
−
k
r
^
{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }
或者，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
P
0
{\displaystyle P_{0}}
D
=
A
P
0
=
1
2
m
|
E
|
{
p
×
L
−
m
k
r
^
}
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{P_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m\left|E\right|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\}}
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
运动常数 的事实。
图4:角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
另外一个保守的向量是副法线向量
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
威廉·哈密顿 曾经研究过这向量[ 7]
B
=
p
−
(
m
k
L
2
r
)
(
L
×
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right)}
这保守的向量与椭圆的半短轴同直线。
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
叉积
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
并矢张量
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
[ 8]
W
=
α
A
⊗
A
+
β
B
⊗
B
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} }
其中，
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
⊗
{\displaystyle \otimes }
张量积 。展开这公式为
W
i
j
=
α
A
i
A
j
+
β
B
i
B
j
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}}
由于两个向量互相垂直，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
主轴 ，也就是说，按比例的特征向量 。由于
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
⋅
W
=
α
(
L
⋅
A
)
A
+
β
(
L
⋅
B
)
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\mathcal {W}}=\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0}
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f6c9eb531cf97779cc113427ad90f87abc09b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b11aedb31d3da0ceaa1e7beb862334c35c60338)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936371c73c7d3c5aa64ce9cce60acfa9ad3e0c18)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4414eb629de2e805e7a71bc5e445f5764d7f3361)
![{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d576618d8d95e8b107f68fad05752a6f43b469a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d787295666d54338a8c532c0ae083c05a11da)
![{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ef928dbc05f2d2e0f957970239c5825369a218)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7580676c243ced8662d593f4ed5501154e3e120c)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb741e61862a023b299aa91f564340970424eb29)
