戴德金群
外观
戴德金群(Dedekind group)指的是一类所有的子群都是正规子群的群,所有的交换群都是戴德金群,非交换的戴德金群又称汉弥尔顿群(Hamiltonian group)。[1]
阶数最小的汉弥尔顿群是四元群,四元群具有八个元素,一般记做。戴德金和贝尔(Reinhold Baer)证明说所有的汉弥尔顿群都是的直积,其中是二阶初等阿贝尔群,而则是周期性交换群,且所有元素的阶数皆是奇数。
戴德金群以理查德·戴德金,戴德金曾在1897年的一篇文章中研究这类的群,并为有限群提供了上述的结构理论,他并以四元数的发现者威廉·哈密顿爵士之名来命名非交换的戴德金群。
在1898年,乔治·米勒(George Abram Miller)描述了汉弥尔顿群及其子群的阶的结构,像例如他发现说若一个汉弥尔顿群的阶数为,那这个群会有一个阶数为的四元数子群;在2005年,霍瓦特氏(Horvat)等人[2]利用这样的结构来计算阶数为的汉弥尔顿群的数量,其中是一个奇数。在的时候,没有汉弥尔顿群的阶数为,对于其他的,阶数为的汉弥尔顿群的个数,和阶数为的交换群一样多。
注解
[编辑]- ^ Hall. The theory of groups. 1999: 190 [2020-12-06]. (原始内容存档于2013-06-21).
- ^ Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž. On the Number of Hamiltonian Groups. 2005-03-09. arXiv:math/0503183
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参考资料
[编辑]- Dedekind, Richard, Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen, 1897, 48 (4): 548–561 [2020-12-06], ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, doi:10.1007/BF01447922, (原始内容存档于2016-03-03).
- Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12–17, 1933.
- Hall, Marshall, The theory of groups, AMS Bookstore: 190, 1999, ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž, On the number of Hamiltonian groups, Mathematical Communications, 2005, 10 (1): 89–94, Bibcode:2005math......3183H, arXiv:math/0503183
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- Miller, G. A., On the Hamilton groups, Bulletin of the American Mathematical Society, 1898, 4 (10): 510–515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3.
- Taussky, Olga, Sums of squares, American Mathematical Monthly, 1970, 77 (8): 805–830, JSTOR 2317016, MR 0268121, doi:10.2307/2317016, hdl:10338.dmlcz/120593.