- 本条目中,向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小则用
来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,
或
。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,
表示
平方;而
是
的第二个分量。
在相对论里,四维向量(four-vector)是实值四维向量空间里的矢量。这四维向量空间称为闵考斯基时空。四维向量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵考斯基时空内的任何一点,都代表一个“事件”,可以用四维向量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维向量,通过劳仑兹变换,可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维向量。
本文章只思考在狭义相对论范围内的四维向量,尽管四维向量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果,必须加以修改,才能在广义相对论范围内成立。
在闵考斯基时空里,不同惯性参考系的座标轴
在闵考斯基时空内的任何一点,都可以用四维向量(一组标准基底的四个坐标)
来表示;其中,上标
标记时空的维数次序。称这四维向量为“坐标四维向量”,又称“四维坐标”,定义为
;
其中,
是光速,
是时间,
是位置的三维直角坐标。
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位,定义
。
“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里,四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时,位移就是位置。四维位移
表示为
。
带有上标的四维向量
称为反变矢量,其分量标记为
。
假若,标号是下标,则称四维向量
为协变矢量。其分量标记为
。
在这里,闵考斯基度规
被设定为
。
采用爱因斯坦求和约定,则四维向量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
。
闵考斯基度规与它的“共轭度规张量”
相等:
。
给予两个惯性参考系
、
;相对于参考系
,参考系
以速度
移动。对于这两个参考系,相关的“劳仑兹变换矩阵”
是
;
其中,
是劳仑兹因子,
是“贝塔因子”。
对于这两个参考系
、
,假设一个事件的四维坐标分别为
、
。那么,这两个四维坐标之间的关系为
、
;
其中,
是
的反矩阵,
。
将这两个四维坐标之间的关系式合并为一,则可得到
。
因此,可以找到劳仑兹变换矩阵的一个特性:
;
其中,
是克罗内克函数。
另外一个很有用的特性为
;
给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标,通过劳仑兹变换,就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时,所涉及的四维向量,最好都能够具有这有用的性质。这样,可以使得数学分析更加精致犀利。以方程式表示,对于两个参考系
、
,具有这种有用性质的四维向量
、
满足
、
。
在计算这四维向量对于时间的导数时,若能选择固有时为时间变数,则求得的四维向量仍旧具有这有用的性质。因为,固有时乃是个不变量;改变惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于闵考斯基时空。在“实验室参考系”里,物体运动的速度随著时间改变。对于每瞬时刻,选择与物体同样运动的惯性参考系,称为“瞬间共动参考系”(momentarily comoving reference frame)。在这瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随著物体不断地改变运动速度与方向,新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。[1]:41-42随著这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时,标记为
。这就好像给物体挂戴一只手表,随著物体的运动,手表也会做同样的运动,而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线
来描述。由于时间膨胀,发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔
与从别的惯性参考系
所观测到的微小时间间隔
的关系为
。
所以,固有时
对于其它时间
的导数为
。
在闵考斯基空间里,两个四维向量
与
的内积,称为闵考斯基内积,以方程式表示为:
。
由于这内积并不具正定性,即
![{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e8d0e781b425640300dac56efcfbe1003c0760)
可能会是负数;而欧几里得内积一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的
:
。
这样,
与
的内积改变为
。
其它相联的量值也会因而改变正负号,但这不会改变系统的物理性质。
从参考系
改换至另一参考系
,
与
的内积为
。
所以,在闵考斯基时空内,两个四维向量的内积是个不变量:[1]:44-46
。
四维向量可以分类为类时,类空,或类光(零矢量):
- 类时矢量:
,
- 类空矢量:
,
- 类光矢量:
。
设想一个物体运动于闵考斯基时空,则其世界线的任意事件
的四维速度
定义为[1]:46-48
;
其中,
是三维速度,或经典速度矢量。
的空间部分与经典速度
的关系为
。
四维速度与自己的内积等于光速平方,是一个不变量:
。
在物体的瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,四维速度为
,
其方向与瞬间共动参考系的第零个基底向量
同向;
其中,
表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
四维加速度
定义为 [1]:46-48
。
经过一番运算,可以得到劳仑兹因子对于时间的导数:
;
其中,
是经典加速度。
所以,四维加速度
可以表示为
。
由于
是个常数,四维加速度与四维速度相互正交;也就是说,四维速度与四维加速度的闵考斯基内积等于零:
。
对于每一条世界线,这计算结果都成立。
注意到在瞬间共动参考系里,
只有时间分量不等于零,所以,
为的时间分量为零:
。
一个静止质量为
的粒子的四维动量
定义为
。
经典动量
定义为
;
其中,
是相对论性质量。
所以,
的空间部分等于经典动量
:
。
作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数:
。
提出四维动量内的静止质量因子,即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度:
。
因此,四维力可以表示为
。
经典力
定义为
。
所以,
的空间部分等于
:
。
在四维向量的表述里,存在著许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系,可以显示出这表述的功能与精致。
假设,在微小时间间隔
,一个运动于时空的粒子,感受到作用力
的施加,而这粒子的微小位移为
。那么,作用力
对于这粒子所做的微小机械功
为
。
因此,这粒子的动能的改变
为
。
粒子的动能
对于时间的导数为
。
将前面经典力和经典速度的公式带入,可以得到
。
这公式的反微分为
。
当粒子静止时,动能等于零。所以,
。
这公式的右手边第二个项目就是静止能量
。动能
加上静止能量
等于总能量
:
。
再加简化,以相对论性质量
表示:
。
这方程式称为质能方程式。
使用质能方程式
,四维动量可以表示为
。
四维动量与自己的内积为
。
改以四维速度来计算内积:
。
所以,能量-动量关系式为
。
在电磁学里,四维电流密度
是一个四维向量,定义为
;
其中,
是电荷密度,
是三维电流密度。
在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度,称为固有电荷密度
。四维电流密度与四维速度的关系为
。
电荷守恒定律能以三维矢量表示为
。
这定律也能以四维电流密度表示为
。
从这方程式,可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
电磁四维势是由电势
与矢量势
共同形成的,定义为
。
黎曼-索末菲方程式表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系[2]:
;
其中,
是磁常数,
是达朗贝尔算符,又称为四维拉普拉斯算符。
一个平面电磁波的四维频率
定义为
;
其中,
是电磁波的频率,
是朝著电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零:
。
一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量
来描述:
。
其中,
是三维波矢量。
四维波矢量与四维频率之间的关系为
。
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