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可去奇点

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复分析中,一个全纯函数可去奇点removable singularity),有时称为装饰性奇点cosmetic singularity)是这样的点,在此处函数表面上没有定义,但是通过细致地分析,函数的定义域可以扩大到该奇点,使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数:

有一个奇点 。借由定义 ,可将此奇点消去,并得到全纯的 sinc函数

确切地,如果 复平面 的一个开集 中一点, 是一个全纯函数,如果存在一个在 相等的全纯函数 ,则 称为 的一个可去奇点。如果这样的 存在,我们说 是可全纯延拓的。

黎曼定理

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黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的:

定理: 设 是复平面中的一个开集, 是其内的一个点,并且 是定义在集合 上的一个全纯函数。则下列情形是等价的:

i) 可全纯延拓到
ii) 可连续延拓到
iii) 存在 的一个邻域,在它上面 有界
iv)

蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i),我们首先回忆到一个函数在一点的全纯性等价于解析,即有一个幂级数表示。

定义:

显然, 上是全纯的,并且由 iv)有

因此 在整个 上都全纯,从而有在 的泰勒级数:

所以

的全纯延拓,这就证明了先前的断言。

其它类型奇点

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不像实变量函数,全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点,即可去奇点,要么是如下两类居其一:

  1. 受黎曼定理启示,给定一个不可去奇点,我们可能问是否存在一个自然数 使得 。如果存在, 称为 的一个极点,这样最小的 称为 阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点
  1. 如果 的一个孤立奇点 既非可去奇点也非极点,则称本性奇点皮卡定理指出 将任意穿孔开邻域 映满整个复平面,至多少一个可能的例外点。

参见

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