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反常积分

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广义积分,又称为反常积分异常积分(英语:Improper integral ),是对普通定积分推广

广义积分可以分成两类,第一类又称为无穷积分,指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分,指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。

第一类反常积分

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第一类反常积分:上限或下限为无限的积分。

定义

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第一类反常积分是无穷积分,指积分区间的上限或下限中含有无穷 ∞ 的积分。数学定义如下:

设函数 上连续且可积。定义无穷积分:

类似的,设函数 上连续且可积。定义无穷积分:

当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散

例子如下:

,即发散;
,振动发散。

推广定义

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第一类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为无穷 ∞ 的积分。

设函数 上连续且可积。定义无穷积分:

或者取区间上任意一点 ,分拆写成:

当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。

例子如下:

,即发散。

与柯西主值的联系

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在无穷积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 上连续且可积。定义无穷积分的柯西主值:

若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:

根据定义,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。

第二类反常积分

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第二类反常积分:被积函数的区间中含有不连续点。

定义

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第二类反常积分是瑕积分,指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点。数学定义如下:

设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分:

类似的,设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分:

当上述极限存在时,称该积分收敛。当上述极限不存在时,称该积分发散

例子如下:

,即发散。

推广定义

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第二类反常积分的定义能进一步推广至上限及下限皆为不连续点,或上限及下限之间含有不连续点的积分。

设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分:

或者取区间上任意一点 ,分拆写成:

设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分:

当上述极限同时存在时,称该积分收敛。当上述极限至少有一个不存在时,称该积分发散。

例子如下:

,即发散。

与柯西主值的联系

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在瑕积分的推广定义中,两个极限须分别处理,即两者的收敛速度可能不同。在柯西主值的理解下,可假设两个极限的收敛速度相同。

设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分的柯西主值:

设函数 上连续且可积,但在点 不连续。定义瑕积分的柯西主值:

若在相同收敛速度下,两者可以互相抵消,则该积分的柯西主值存在。举例来说:

根据定义,若瑕积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等。但瑕积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。

参考文献

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参见

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