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反伽玛函数

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反伽玛函数函数图形
反伽玛函数复数域色相环复变函数图形

反伽玛函数(反Γ函数,Inverse gamma function)是伽玛函数(Γ函数)的反函数。 换句话说,如果反Γ函数以的形式表示,则其满足。 例如24的反伽玛函数值为5,,因为5代到伽玛函数为24[1]。 一般而言,反伽玛函数是指定义域实数区间上且图形在实数区间上的主分支,其中[2]是伽玛函数在正实轴上的最小值、[3]是能使最小的[4]。 反伽玛函数可以透过伽玛函数和阶乘的关系来定义反阶乘,即阶乘的反函数。

限制在区间的反伽玛函数称为伽玛函数的主逆函数(principal inverse function),可以表示为。 在不同分支上的伽玛函数也可以定义出反伽玛函数,在第n个分支上的反伽玛函数可以表示为

直接将伽玛函数取反函数将成为多值函数,因此通常会将反伽玛函数限制在特定区间上的反函数

定义

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由于反伽玛函数是伽玛函数的反函数,因此最简单的情况下可以表示为:

更进一步的,反伽玛函数可以用如下积分表达式来定义:[5]

其中、a和b为满足实数博雷尔测度

近似值

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不同分支的反伽玛函数

反伽玛函数的分支可以透过先计算在分支点附近的泰勒级数,接著截断级数并求其反函数来得到更好的近似值。 例如,可以写出关于反伽玛函数的二次近似[6]

反伽玛函数也有如下的渐近分析形式:[7]

其中朗伯W函数。这个公式是利用史特灵公式求逆得到的,因此也可以展开为渐近级数。

级数展开

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要计算反伽玛函数的级数展开可以先计算倒数伽玛函数在负整数极点附近的级数展开,然后再求级数的逆。

可以得到第个分支的反伽玛函数,其中[8]

其中,多伽玛函数

反阶乘

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反阶乘的复变函数图形

反阶乘是阶乘反函数,有时记为Factorial-1或ArcFactorial[9],其函数值可以透过反伽玛函数或解伽玛函数方程来得到[10]。 例如120的反阶乘为5,因为。 目前反阶乘的数学表达方式学界尚无共识。[注 1]

部分的反阶乘
的反阶乘
-1 2.39393017729

+ 2.66169895945

0 不存在
0.28307261544

+ 1.09787390370

1 1
2 2
3 2.4058699863
4 2.6640327972
5 2.8523554580
6 3
24 4

反伽玛函数与反阶乘的关系为:

这是由于:

反阶乘可以定义为:

条件是在复平面上是全纯的,并且沿著实轴的一部分进行切割,从正参数阶乘的最小值开始,延伸到

在分支点附近的反阶乘可以展开为;

由于阶乘与伽玛函数之间的关联,反阶乘也可以透过反伽玛函数近似公式来估计:

因此,反阶乘也可以写成如下的渐近分析形式:[7]

其中朗伯W函数

参见

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注释

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  1. ^ 数篇相关论文用了不同的表达方式,尚未找到一个统一的表达方式。 另有网友在reddit上讨论反阶乘应该用甚么符号表达 What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? OR x!^(-1). reddit. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21). 

参考文献

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  1. ^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320. S2CID 119324101. arXiv:1703.05349可免费查阅. doi:10.1080/00029890.2018.1420983. 
  2. ^ OEISA030171
  3. ^ OEISA030169
  4. ^ Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function. Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023]. JSTOR 41505586. S2CID 85549521. doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2可免费查阅. (原始内容存档于2023-03-20). 
  5. ^ Pedersen, Henrik. "Inverses of gamma functions". Constructive Approximation. 9 September 2013, 7 (2): 251–267 [2023-08-21]. S2CID 253898042. arXiv:1309.2167可免费查阅. doi:10.1007/s00365-014-9239-1. (原始内容存档于2023-05-24). 
  6. ^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9. S2CID 53287687. doi:10.1109/SYNASC.2017.00020. 
  7. ^ 7.0 7.1 Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018 [2023-08-23]. (原始内容存档于2022-05-09). 
  8. ^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation. Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8 [2023-08-23]. (原始内容存档于2023-05-16). 
  9. ^ Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65: 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029. 
  10. ^ InverseFactorial. resources.wolframcloud.com. [2023-08-21]. (原始内容存档于2023-08-21).