零态射

在范畴论中，零态射是一类特殊的态射，性质类似指向（或指出自）一个零对象的态射。

定义

令C为一个范畴，f : X → Y为C中的一个态射。如果对C中的任何对象W，都有g, h : W → X，fg = fh，则称f是一个常态射（或称左零态射）。对偶的，如果对C中的任何对象Z，都有g, h : Y → Z，gf = hf，则称f是一个余常态射（或称右零态射）。同时是一个常态射与余常态射时即为零态射。

具零态射范畴一词代表对C中任两个对象A,B，存在一个固定的态射0_AB : A → B，且对任何C中的对象X, Y, Z与态射f : Y → Z, g : X → Y，需满足下方的交换图

态射0_XY一定是零态射。

如果C是一个具零态射范畴，则0_XY的搜集是唯一的。

“零态射”和“具零态射范畴”之间的定义并不一致，但如果一个范畴中的每个hom类都有一个“零态射”，则它就会是一个“具零态射范畴”。

例子

• 在群范畴（或模范畴）中的零态射是一个同态 f : G → H，使得G的元素全部送到H的单位元。群范畴中的零对象是平凡群 1 = {1}，在同构下是唯一的。所有零态射都能用1分解，即f : G → 1 → H.
• 整体来说，如果C有一个零对象0，则对所有对象X和Y存在一个唯一的态射列: 0_XY : X → 0 → Y 用这种方式定义的态射会赋予C一个具零态射范畴的结构。
• 如果C是一个预可加范畴，则任何hom类Hom(X,Y)都会是一个交换群，因此具有零元素。这些零元素作为零态射使得C成为一个具零态射范畴。
• 集合范畴没有零对象，但有空集∅作为初对象。Set仅有的右零态射是从∅到集合X的函数。

相关概念

如果一个范畴有零态射，则对每个态射都可以定义核和余核。

参考

• Section 1.7 of Pareigis, Bodo, Categories and functors, Pure and applied mathematics 39, Academic Press, 1970, ISBN 978-0-12-545150-5 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag, 2007 .