集合域
外观
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在集合代数中,域,或者代数,是指一种有序对,其中 是集合, 是由集合 的一些子集构成的一种集类,它满足 自身是它的元素,且对加法(有限并)封闭和乘法(有限交)及逆(余集)运算封闭。在这样的集类中,空集类似于 0,因为和它相加(并)的任何集合结果还是自身;全集相当于 1,因为和它相乘(交)的任何集合还是自身。
也可把满足上述条件的集类称为域或代数
定义
[编辑]非空集类 若满足以下条件:
- ;
- (对有限并、有限交封闭);
- (对补集运算封闭).
则称其为 上的一个代数[1]。
或者可以把代数定义为有元素 和空集、对有限交(或有限并)和余集运算封闭的 的子集类[2],这两者是等价的。
性质
[编辑]无论从哪个定义出发,利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律,都可列出代数具有如下性质:空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。
一个代数也一定是一个环[3]。用可列不交并封闭一个代数,将得到一个σ-代数[2]:5,而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。
其中用可列不交并封闭一个代数 得到的新集类定义是:
其他定义
[编辑]集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。
参见
[编辑]参考
[编辑]- ^ A.H.施利亚耶夫. 概率(第一卷)(修订和补充第三版). 高等教育出版社. : 134. ISBN 978-7-04-022059-9.
- ^ 2.0 2.1 严加安. 测度论讲义. 科学出版社. : 4. ISBN 978-7-03-013409-7.
- ^ 程士宏. 测度论与概率论基础. 北京大学出版社. : 5. ISBN 978-7-301-06345-3.
- Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
- Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
- Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982. ISBN 0-521-33779-8.
- Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991