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爱因斯坦求和约定

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数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的[1]。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说[2]:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变量出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,

的意思是

请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里,分别表示坐标、坐标、坐标,而不是的平方、的立方。

简介

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爱因斯坦标记法的基本点子是余向量向量可以形成标量

通常会将这写为求和公式形式:

基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号

采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变量的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变量最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。

向量的表示

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线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如,。给予一个维向量空间和其任意基底(可能不是标准正交基),那么,向量表示为

余向量的分量是用下标来标明,例如,。给予对偶空间和其任意基底(可能不是标准正交基),那么,余向量表示为

采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从改变为,反变向量会变换为

其中,是改变基底后的向量的分量,是改变基底后的坐标,是原先的坐标,

下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从改变为,共变向量会会变换为

一般运算

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矩阵的第横排,第 竖排的元素,以前标记为;现在改标记为。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:

内积

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给予向量和余向量,其向量和余向量的内积为标量:

向量乘以矩阵

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给予矩阵和向量,它们的乘积是向量

类似地,矩阵转置矩阵,其与余向量的乘积是余向量

矩阵乘法

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矩阵乘法表示为

这公式等价于较冗长的普通标记法:

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给予一个方块矩阵,总和所有上标与下标相同的元素,可以得到这矩阵的

外积

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M维向量和N维余向量外积是一个M×N矩阵

采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表示为

由于代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵的标号。

向量的内积

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一般力学工程学会用互相标准正交基基底向量来描述三维空间的向量。

直角坐标系的基底向量写成,所以一个向量可以写成:

根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:

由于基底是标准正交基,的每一个分量,所以,

两个向量内积

由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:

其中,就是克罗内克函数。当时,则,否则

逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数,就可以把方程式中的标号转为或者把标号转为。所以,

向量的叉积

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采用同样的标准正交基,两个向量叉积,以方程式表示为

注意到

其中,张量列维-奇维塔符号,定义为

,若 (偶置换
,若 (奇置换)
,若

所以,

设定,那么,

所以,

向量的共变分量和反变分量

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欧几里得空间里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量;对于所有向量,通过下述方程式,向量唯一地确定了余向量

逆过来,通过上述方程式,每一个余向量唯一地确定了向量。由于这向量与余向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予的一个基底,则必存在一个唯一的对偶基底,满足

其中,张量克罗内克函数

以这两种基底,任意向量可以写为两种形式

其中,是向量对于基底的反变分量,是向量对于基底的共变分量,

欧几里得空间

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将向量 投影于坐标轴,可以求得其反变分量;将向量投影于坐标曲面法线,可以求得其共变分量

欧几里得空间里,使用内积运算,能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底,其基底向量为,就可以计算其对偶基底的基底向量:

其中,是基底向量共同形成的平行六面体的体积。

反过来计算,

其中,是基底向量共同形成的平行六面体的体积。

虽然并不相互标准正交,它们相互对偶:

虽然并不相互标准正交,它们相互对偶:

这样,任意向量的反变分量为

类似地,共变分量为

这样,可以表示为

或者,

综合上述关系式,

向量的共变分量为

其中,度规张量

向量的反变分量为

 ;

其中,共轭度规张量

共变分量的标号是下标,反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变分量和反变分量,所有的标号都可以用下标来标记。

抽象定义

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思考维度为的向量空间。给予一个可能不是标准正交基的基底。那么,在内的向量,对于这基底,其分量为、...。以方程式表示,

在这方程式右手边,标号在同一项目出现了两次,一次是上标,一次是下标,因此,从等于,这项目的每一个可能值都必须总和在一起。

爱因斯坦约定的优点是,它可以应用于从张量积对偶性建立的向量空间。例如,与自己的张量积,拥有由形式为的张量组成的基底。任意在内的张量可以写为

向量空间对偶空间拥有基底,遵守规则

其中,克罗内克函数

范例

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为了更明确地解释爱因斯坦求和约定,在这里给出几个简单的例子。

  • 思考四维时空,标号的值是从0到3。两个张量,经过张量缩并tensor contraction)运算后,变为一个标量:
  • 方程式的右手边有两个项目:
由于运算结果与标号无关,可以被其它标号随意更换,所以,称为傀标号
自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里,而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里,是自由标号,每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目里,标号出现了两次,一次是上标,一次是下标,所以,这项目的所有可能值都必须总和在一起。称求和标号
  • 思考在黎曼空间的弧线元素长度
。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。
进一步扩展,
注意到乘以,是,而不是坐标的微小元素。当有疑虑时,可以用括号来分歧义。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity, Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03], (原始内容 (PDF)存档于2007-07-22) 
  2. ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642 

外部链接

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