拉东变换

拉东变换将函数 $f(x,y)$ 映射到$f(\alpha ,s)$。

本图是将下图做拉东变换后得到的影像，越亮的区域代表值越大，黑色的区域为0。

原始函数是白色区域为1，黑色区域为0。

数学上，拉东变换（又称雷登变换）是一种积分变换，这个变换将二维平面函数$f$变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数${\cal {R}}f$(${\cal {R}}f$的意思是对$f$做拉东变换)，而${\cal {R}}f$的值为函数$f$对该条线${\cal {R}}f$做积分的值。以右图为例，黄色区域即是$f$，$A$线则是代表${\cal {R}}f$。

拉东变换是约翰·拉东在公元1917年提出，他也同时提出拉东变换的反变换公式，以及三次空间的拉东变换公式。 三次空间拉东变换，是对一个平面积分(对线积分则是X射线变换)。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间的拉东变换被提出，更详尽的广义拉东变换要参见Integral geometry。 在复数上有和拉东变换相似的Penrose变换，拉东变换被广泛的应用在断层扫描，拉东反变换可以从断层扫描的剖面图重建出投影前的函数。

简介

若函数$f$表示一个未知的密度，对$f$做拉东变换，相当于得到$f$投影后的讯号，举例来说：$f$相当于人体组织，断层扫描的输出讯号相当于经过拉东变换的$f$。 因此，可以用拉东反变换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。

拉东变换后的讯号称作正弦图（sinogram），因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对一些小点的拉东变换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

拉东变换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、大分子装配（Macromolecular assembly）的电子显微镜（例如：病毒、蛋白质复合体）、反射地震学，而且也是双曲线偏微分方程的解。

定义

令密度函数$f({\bf {x}})=f(x,y)$是一个的定义域为 ${\bf {R}}^{2}$ 的紧支撑。令${\cal {R}}$为拉东变换的运算子(operator)，则${\cal {R}}f(x,y)$是一个定义在 ${\bf {R}}^{2}$空间中的直线$L$，它的定义如下

${\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|$

可以把直线 $L$改写成一个弧长$z$的参数式

$(x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,$

$s$是直线$L$和原点的距离，而$\alpha$是垂直于$L$的法线和$x$轴的夹角， 接下来，我们可以令$(\alpha ,s)$当作${\bf {R}}^{2}$平面上的新座标系统，把这个座标变换带入到拉东变换得到

${\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}$

更进一步，我们可以把${\bf {R}}^{2}$推广到${\bf {R}}^{n}$的欧几里得空间，对一个紧支撑的连续函数$f$做拉东变换后的函数${\cal {R}}f$是定义在 $\Sigma _{n}$的超平面上，

${\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}$

积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure)，而$d\Delta$是原本的$|d{\bf {x}}|$的高维推广。可以观察到对$\Sigma _{n}$里的任意元素， 都是某个轨迹方程式的解

${\bf {x}}\cdot \alpha =s.$

而$\alpha$是一个单位向量且属于${\rm {S}}^{n-1}$，$s\in \mathbb {R}$，n维的拉东变换可以改写成定义在 ${\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}$上的函数

${\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )$

也可以借由其他方式将拉东变换推广，也就是对${\bf {R}}^{n}$的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。 而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

与傅里叶变换的关系

主条目：投影切片定理

拉东变换和傅里叶变换之间有很强的关联性。单变量的傅里叶变换的定义是

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$

而双变量$({\bf {x}})=(x,y)$的傅里叶变换是

${\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy$

把拉东变换的运算子的表记从${\cal {R}}[f](s)$ 改成 ${\cal {R}}[f](\alpha ,s)$。根据投影切片定理学说，

${\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

因此一个初始函数沿着一条线倾角$\alpha$的二维的傅里叶变换，相当于对拉东变换做一维的傅里叶变换。这个结果可以推广到n维

${\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds$

对偶变换

对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随。令在空间$\Sigma _{n}$上的函数$g$，而对偶拉东变换的运算子定义为${\cal {R}}^{*}$。作用在$g$上

${\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )$

积分的范围是所有和$x\in {\bf {R}}^{2}$相交的超平面集合，而测度(measure)$d\mu$是集合$\xi |x\in \xi$特殊的概率测度(Probability measure)， 当对着$x$旋转时，$d\mu$的值不会改变

对于一个二维的拉东变换，其对偶变换是

${\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha$

在影像处理的文章中，对偶变换经常被称作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

交结性质

根据拉普拉斯算子$\Delta$在 ${\bf {R}}^{n}$的定义是

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间$\Sigma _{n}$，半径的二阶导数

$Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)$

也是旋转不变性。 而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为

${\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)$

重建方法

重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数$f$。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

拉东反变换公式

对于二维拉东变换，最常被使用的解析公式(analytical formula)$f$，是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式，反变换公式为

$f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta$

函数$h$满足${\hat {h}}(k)=|k|$，卷积核 (convolution kernel) $h$在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上，反变换公式应该和微分类似，${\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)$。我们可以看的出来反变换公式 的行为类似微分。大致上来说，这个反变换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

${\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )$

${\cal {R}}^{*}$即是前面定义的反变换运算子，且伴随着(adjoint to)拉东变换，因此$g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，上式变成

${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$

复数指数函数$e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }$，是${\cal {R}}^{*}{\cal {R}}$的本征函数 (eigenfunction) ， 而特征值 (eigenvalue)为${\frac {1}{||{\bf {k}}||}}$。${\cal {R}}$的奇异值 (singular values) 是${\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$， 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以${\cal {R}}^{-1}$是无界的(unbounded) 。

反变换公式

外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式，以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由

$c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}$

其中

$c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}$

而$\Delta$是拉普拉斯算子(Laplacian)，$(-\Delta )^{(n-1)/2}$是伪微分算子(pseudodifferential operator)

${\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).$

${\mathcal {F}}$是傅里叶变换的运算子(operator)。

参见

• 反卷积
• X-ray变换
• Funk变换
• 霍夫变换
• 迭代稀疏渐近最小方差算法

参考

• Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 .
• Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854 .
• Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 .
• Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 .
• Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1 
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 .
• Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 ; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775 .
• Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• 埃里克·韦斯坦因. 拉東變換. MathWorld. .