平稳过程

在数学中，平稳过程（英语：Stationary process），又称严格平稳过程（英语：Strict(ly) stationary process）或强平稳过程（英语：Strong(ly) stationary process）是一种特殊的随机过程，在其中任取一段期间或空间（$t=t_{1},t_{k}$）里的联合概率分布，与将这段期间任意平移后的新期间（$t=t_{1}+\tau -t_{k}+\tau$）之联合概率分布相等。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间或位置变化。

例如，白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。

在时间串行分析中稳态作为一个工具使用，在这里原始数据经常被转换为平稳态，例如经济学数据经常随着季节或者价格水平变化。如果这些过程是平稳过程与一个或者多个呈现一定趋势的过程的线性组合，那么这些过程就可以表述为趋势平稳。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为解趋势（de-trending）。

采样空间也是离散的离散时间平稳过程称为Bernoulli scheme，离散采样空间中每个随机变量可能取得 N'个可能值中的任意一个。当 N = 2 的时候，这个过程叫做伯努利过程。

定义

如果有一个信号$X$对于所有$k$都满足以下条件，则它就是一个平稳过程：

$p(x_{n+k},n+k,x_{m+k},m+k)=p(x_{n},n,x_{m},m),$

其中，$p(x_{n},n,x_{m},m)$表示信号在时刻$m$取值$x_{m}$，且时刻$n$取值$x_{n}$的概率。也就是说，$X_{n}$和$X_{m}$的联合概率分布，只和$m$和$n$的时间差有关，和其他参数都没有关系。

另外，上述对于平稳过程的定义，在$m$等于$n$的情况下，也同样会满足上述情况，因此，如果是一个平稳随机过程的话，应该也满足以下条件：

$p(x_{n+k},n+k)=p(x_{n},n),$

也就是说，一个平稳过程的概率密度函数（PDF）在任意时间点$n$都是相同的，也就是说，这会是一个非时变函数，即与当下时间点没有关系（time independent）。

因此，根据上面的定义，可以推导出，对于平稳过程的自相关函数也只和时间差有关，和本身的时间点没有关系。如果假设时间差是$k$，则可以得到公式如下：

$\phi _{XX}(n+k,n)=\phi _{XX}(k)=\mathbb {E} (X_{n+k}X_{n}^{*}).$

此外，借由这些公式也可以得知，平稳过程的平均数和方差也都和时间点$n$没有关系，在任意时间点的值都是相同的，可以表示成：

${\begin{aligned}\mu _{X}&=\mu _{X_{n}}=\mathbb {E} (X_{n}),\\\sigma _{X}^{2}&=\mathbb {E} ((X_{n}-\mu _{n})^{2}).\end{aligned}}$

范例

举例来说，白噪音，又称为白噪声（white noise）就是一个典型的平稳过程，而且它的时间是连续的，并且功率谱密度是常数，也就是说，它的每个频段的功率是一样的。虽然说铙钹的敲击如果只有一下，则因为是能量会随着时间衰减，而不是一个平稳过程，然而当它被打击时，是有可能产生白噪声的响应，假设它是在一个均匀稳定的泊松过程（Poisson process）下敲击的话，这个信号则会形成白噪声。

而如果是离散时间的平稳过程，同时又是在离散空间样本下的话，则是有像是Bernoulli scheme的例子。

而在离散时间又是在连续空间样本之下的话，则是有自回归滑动平均模型（Autoregressive moving average model），这是研究时间串行的重要方法，是由自回归模型（AR模型）与滑动平均模型（MA模型）为基础所“混合”构成。

此外，还可以假设Y是任意的随机变量（Random variable），则同时定义一个时间数列{X_t}，对于所有的t，有以下性质：

X_t = Y

而{X_t}就是一个平稳时间数列。

广义平稳（弱平稳）

信号处理中常用的弱平稳也被称为广义平稳（Wide-sense stationary,WSS）或者协方差平稳。WSS 随机过程仅仅要求一阶和二阶矩不随时间变化。

这样，一个 WSS 的连续时间随机过程 x(t) 有下述数学期望函数

1. $\mathbb {E} \{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau )\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R}$

与相关函数

2. $\mathbb {E} \{x(t_{1})x(t_{2})\}=R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )=R_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} .$

第一个属性表明数学期望函数 m_x(t) 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 之间的差值相关，并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样，

$\,\!R_{x}(t_{1}-t_{2},0),$

通常可以简化为

$\,\!R_{x}(\tau )$，其中：$\,\!\tau =t_{1}-t_{2}$。

当使用线性、时不变（线性时不变系统）滤波器处理广义平稳随机信号的时候，将相关函数作为线性算子是很有帮助的。由于它是循环矩阵运算，只与两个变量之间的差值有关，所以它的特征函数是傅里叶级数复数指数函数。另外，由于线性时不变系统算子也是复指数函数，广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在频域进行。另外，根据线性非时变系统的特征，也可以知道，当输入信号是一个广义平稳过程时，输出信号也会是一个广义平稳过程。因此，广义平稳假设在信号处理算法中得到了广泛应用。

二阶平稳过程

二阶平稳过程是指在实际使用中，仅需一对变量（2个）在时序变化中保持平稳特性时所提出的。二阶平稳过程的定义可以推广至N阶平稳过程，所谓严格平稳过程(SSS)具体表现为全阶平稳。

当概率密度函数的一阶和二阶表达式对于所有可能的$t_{1}$, $t_{2}$ 和 $\Delta$ 满足以下条件时，被称为二阶平稳过程。

$f_{X}(x_{1}:t_{1})=f_{X}(x_{1}:t_{1}+\Delta ),\,$

$f_{X}(x_{1},x_{2}:t_{1},t_{2})=f_{X}(x_{1},x_{2}:t_{1}+\Delta ,t_{2}+\Delta ),\,$

当其均值（mean）和相关函数（correlation function）都是有限的时候，这样的过程可以称为广义平稳（WSS），同时，一个广义平稳不一定是二阶平稳。

参见

• 循环平稳过程