卡西米尔不变量

在数学里，卡西米尔不变量（又称卡西米尔元或卡希米尔算子）是李代数的泛包络代数中心的一个特别的元素。典型的例子是角动量算符的平方 J ², 一个三维旋转群的卡西米尔不变量。

卡西米尔元以亨德里克·卡西米尔命名。1931年，他确立了这个概念，以用在他对刚体动力学的描述当中。^[1]

定义

最常用的卡西米尔元是二次的。其最易定义，因此先在下文给出。然而，也有更高次的卡西米尔不变量，其对应高次的对称齐次多项式，这些不变量在最后定义。

二次卡西米尔元

设 ${\mathfrak {g}}$ 为一个 $n$ 维半单李代数。设 B 为 ${\mathfrak {g}}$ 上非奇异的二次型，并要求 B 在 ${\mathfrak {g}}$ 的伴随作用下不变，即对 ${\mathfrak {g}}$ 中的任意 X,Y,Z, 都有 $B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.$ （例如，可取 B 为基灵型。）设

\{X_{i}\}_{i=1}^{n}

为 ${\mathfrak {g}}$ 的基，以及

\{X^{i}\}_{i=1}^{n}

为 ${\mathfrak {g}}$ 关于 B 的对偶基，则 B 的卡西米尔不变量 $\Omega$ 是泛包络代数 $U({\mathfrak {g}})$ 的元素

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

尽管上述定义取决于选取的基，可以证明所得的 Ω 与所选的基无关。另一方面，不同的二次型 B 可以给出不同的 Ω. B 的不变性，说明卡西米尔元与李代数 ${\mathfrak {g}}$ 的任何元素都可交换，因此是泛包络代数 $U({\mathfrak {g}})$ 的中心的元素。^[2]

线性表示和光滑作用的卡西米尔元

给定 ${\mathfrak {g}}$ 在向量空间 V 上的李代数表示（英语：Lie algebra representation） ρ （允许无穷维），将 ρ(Ω) 称为 ρ 的卡西米尔不变量，其为 V 上的线性算子，且由下式给出：

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

此处假定了 B 为基灵型，否则必须指明 B.

该构造的特定形式，在微分几何和大域分析（英语：Global Analysis）中有重要作用。假设连通李群 G 的李代数 ${\mathfrak {g}}$ 作用在微分流形 M 上，则在 M 的连续函数空间上，有 G 相应的表示 ρ. ${\mathfrak {g}}$ 的元素均由 M 上的一阶微分算子表示，于是，上式给出 ρ 的卡西米尔元，其为 M 上的二阶微分算子，且在 G 的作用下不变。

更进一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作为 M 的保距变换，可递地作用在 M 上，且一点的稳定子 G_x 不可约地作用在切空间 T_xM 上，则 ρ 的卡西米尔元是该度量的拉普拉斯算子的倍数。

也可定义更一般的卡西米尔不变量，其于弗雷德霍姆理论（英语：Fredholm theory）研究伪微分算子时用到。

一般情况

每个卡西米尔算子，都对应伴随表示的对称代数（英语：Symmetric algebra） ${\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.$ 的对称齐次多项式。换言之，任何一个卡西米尔算子都具有下列形式：

C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},

其中 $m$ 是对称张量 $\kappa ^{ij\cdots k}$ 的阶，且 $X_{i}$ 组成 ${\mathfrak {g}}$ 的基。域 $K$ 上的多项式环 $K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]$ 内，有 $m$ 元对称齐次多项式

c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}

与该卡西米尔算子对应。庞卡莱–伯克霍夫–维特定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）给出了泛包络代数的显式构造，由此可以证明上述的对应关系。

然而，并非每个对应张量（或对称齐次多项式）都与一个卡西米尔算子对应。其必须与李括号显见地可交换，即对每个基向量 $X_{i}$ , 都满足

[C_{(m)},X_{i}]=0

.

考虑结构常数 f_ij^k，其满足

[X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.

于是对于满足上述条件的对称多项式，可得

f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.

此为伊斯拉埃尔·盖尔范德所得的结果。^[3] 由该交换关系，可知卡西米尔元与李代数中的任意元素都可交换，从而卡西米尔元是在泛包络代数的中心里内。得益于此，李代数表示（英语：Lie algebra representation）能以其卡西米尔元的特征值来分类。

注意上述对称多项式的线性和仍然是在中心里。更甚者，诸卡西米尔元组成中心的一组基。若一个半单李代数的秩为 $r,$ 即其嘉当子代数的维数为 $r,$ 则其恰有 $r$ 个卡西米尔元。

性质

唯一性

一个单李代数中，每个不变二次型皆为基灵型的倍数，所以对应的卡西米尔元唯一（允许相差一个常数的意义下）。对于一般的半单李代数，考虑其不变二次型组成的空间。半单李代数是若干单李代数的直和，因此该二次型空间中，对应每个单分量，恰有一个基向量。故卡西米尔元组成的空间中，也对应每个单分量，恰有一个基向量。

与 G 上拉普拉斯算子的关系

若 $G$ 为李群，且其李代数为 ${\mathfrak {g}}$ , 则 ${\mathfrak {g}}$ 上的不变二次型对应 $G$ 上的双不变黎曼度量。并且， ${\mathfrak {g}}$ 的泛包络代数等同于 $G$ 上的左不变微分算子空间。在此等同关系下， ${\mathfrak {g}}$ 上双线性型的卡西米尔元，对应 $G$ 关于双不变度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

推广

卡西米尔算子是李代数的泛包络代数的中心的特殊二次元素。换言之，卡西米尔算子是一个微分算子，其与李代数的生成元皆可交换。泛包络代数中心里，每个二次元素均是某个二次型的卡西米尔元。然而，中心内可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理^[4]，半单李代数的泛包络代数中心的维数，等于该李代数的秩。在任意的半单李群（即其李代数为半单李代数）上，可以利用卡西米尔元，定义群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述关于秩的结论，当秩大于 1 时，无法类比地定义唯一的拉普拉斯算子。

根据定义，泛包络代数的中心内，任何元素都与整个代数的元素可交换。由舒尔引理，任何既约表示（英语：Irreducible representation）中，卡西米尔算子必为恒等映射的倍数。该比例常数适用于李代数表示的分类（也就适用于李群表示的分类）。物理上，质量和自旋均属该种常数，并且量子力学中许多量子数亦然。

例： ${\mathfrak {so}}(3)$

考虑三维欧几里得空间的旋转群 SO(3). 其李代数 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的秩为 1, 因此仅得一个独立的卡西米尔元。旋转群的基灵型为克罗内克δ, 故相应的卡西米尔不变量正是李代数的生成元 $L_{x},\,L_{y},\,L_{z}$ 的平方和。换言之，卡西米尔元由等式

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}

给出。考虑 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的一个不可约表示。记其中 $L_{z}$ 的最大特征值为 $\ell$ , 则 $\ell$ 的可能取值为 $0,1/2,1,3/2,\ldots .$ 卡西米尔元的不变性可推出其为恒等算子 I 的倍数。该常数可以具体计算出，即：^[5]

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.

在量子力学中，常数 $\ell$ 称为总角动量量子数。对于旋转群的有限维矩阵取值表示， $\ell$ 总为整数或半整数（奇数的一半）。倘为整数，则该表示称为玻色子表示（英语：bosonic representation)，否则称为费米子表示（英语：fermionic representation)。

给定 $\ell$ , 得到的矩阵表示是 $(2\ell +1)$ 维的。例如 ${\mathfrak {so}}(3)$ 的三维表示对应于 $\ell \,=\,1$ , 由下列的生成元给出：

L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},

其中照物理学常用的约定加入了 $i$ 因子，使得诸生成元皆为自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米尔元，结果为

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

当 $\ell \,=\,1$ 时， $\ell (\ell +1)\,=\,2$ , 故此例子与前段的一般结果一致。类似地，二维的表示以泡利矩阵作基，对应物理上自旋为 1/2 的粒子。

特征值

由于卡西米尔元 $\Omega$ 在泛包络代数的中心内，其在一个单模（该代数的直和分解的一个分量）上的作用是乘上一个常数。设 $\langle ,\rangle$ 为 $\Omega$ 定义采用的对称非退化二次型。记 $L(\lambda )$ 为具有最高权 $\lambda$ 的元素组成的有限维模（称为该表示的最高权模）。则卡西米尔元 $\Omega$ 在 $L(\lambda )$ 的作用为乘常数

\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,

其中 $\rho$ 为所有正根之和之半。^[6]

若 $L(\lambda )$ 非平凡（即 $\lambda \neq 0$ ), 则上述常数非零。原因是，由于 $\lambda$ 是优控的（英语：dominant, 即与任意正根的内积皆非负），若 $\lambda \neq 0$ ，则 $\langle \lambda ,\lambda \rangle >0$ , 且 $\langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0$ , 故 $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0$ . 此结果适用于魏尔完全可约性定理（英语：Weyl's theorem on complete reducibility）的证明。亦可不使用上述公式，而采用更抽象的嘉当判别法（英语：Cartan's criterion）证明该常数非零。^[7]

参见

哈里希·钱德拉同构（英语：Harish-Chandra isomorphism）
包立－鲁班斯基伪向量（英语：Pauli–Lubanski pseudovector）

参考文献

^ Oliver, David. The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6.
^ Hall 2015 Proposition 10.5
^ Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics （页面存档备份，存于互联网档案馆）" (2005) Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics.
^ Racah, Giulio. Group theory and spectroscopy. Springer Berlin Heidelberg. 1965.
^ Hall 2013 Proposition 17.8
^ Hall 2015 Proposition 10.6
^ Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2

Hall, Brian C., Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, 2013
Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
Humphreys, James E., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9 Second printing, revised, New York: Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90053-5

延伸阅读

Jacobson, Nathan. Lie algebras. Dover Publications. 1979: 243–249. ISBN 0-486-63832-4.

[1] Oliver, David. The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world. Springer. 2004: 81. ISBN 978-0-387-40307-6.

[2] Hall 2015 Proposition 10.5

[3] Xavier Bekaert, "Universal enveloping algebras and some applications in physics （页面存档备份，存于互联网档案馆）" (2005) Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics.

[4] Racah, Giulio. Group theory and spectroscopy. Springer Berlin Heidelberg. 1965.

[5] Hall 2013 Proposition 17.8

[6] Hall 2015 Proposition 10.6

[7] Humphreys 1978 Sections 4.3 and 6.2

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