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协方差矩阵

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中心为 (0, 0) 的一个二元高斯概率密度函数,协方差矩阵为 [ 1.00, 0.50 ; 0.50, 1.00 ]。
一个左下右上方向标准差为 3,正交方向标准差为 1 的多元高斯分布的样本点。由于 xy 分量共变(即相关),xy 的方差不能完全描述该分布;箭头的方向对应的协方差矩阵的特征向量,其长度为特征值的平方根。

统计学概率论中,协方差矩阵(covariance matrix)是一个方阵,代表着任两列随机变量英语Multivariate random variable间的协方差,是协方差的直接推广。

定义

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定义 — 
概率空间 是定义在 上的两列实数随机变量序列

若二者对应的期望分别为:

则这两列随机变量间的协方差矩阵为:

将之以矩形表示的话就是:

根据测度积分的线性性质,协方差矩阵还可以进一步化简为:

矩阵表示法

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以上定义所述的随机变量序列 ,也可分别以用行向量 表示,换句话说:

这样的话,对于 个定义在 上的随机变量 所组成的矩阵 , 定义:

也就是说

那上小节定义的协方差矩阵就可以记为:

所以协方差矩阵也可对 来定义:

术语与符号分歧

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也有人把以下的 称为协方差矩阵:

但本页面沿用威廉·费勒的说法,把 称为 的方差(variance of random vector),来跟 作区别。这是因为:

换句话说, 的对角线由随机变量 方差所组成。据此,也有人也把 称为方差-协方差矩阵(variance–covariance matrix)。

更有人因为方差离差的相关性,含混的将 称为离差矩阵

性质

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有以下的基本性质:

  1. 半正定的和对称的矩阵。
  2. ,则有
  3. 是独立的,则有

尽管协方差矩阵很简单,可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵,这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看,也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis),在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。

复随机向量

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均值为的复随机标量变量的方差定义如下(使用共轭复数):

其中复数的共轭记为

如果 是一个复列向量,则取其共轭转置,得到一个方阵:

其中为共轭转置, 它对于标量也成立,因为标量的转置还是标量。

估计

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多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做矩阵的迹更好的原因。参见协方差矩阵的估计

外部链接

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