闭无界集

数学中，尤其是数理逻辑和集合论中，闭无界集（英语：closed and unbounded set, club set）是极限序数的一类子集，其在该极限序数的序拓扑中为闭，且相对于该极限序数为无界（见严格定义）。

严格定义[编辑]

严格而言，若 $\kappa$ 为极限序数，则集合 $C\subseteq \kappa$ 为闭当且仅当对每个 $\alpha <\kappa$ ，若 $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0$ ，则 $\alpha \in C$ 。因此，若 $C$ 中，某序列的极限小于 $\kappa$ ，则该极限也在 $C$ 中。^[1]^:91

若 $\kappa$ 为极限序数，且 $C\subseteq \kappa$ ，则 $C$ 称为在 $\kappa$ 中无界，意思是对任意 $\alpha <\kappa$ ，皆有 $\beta \in C$ 使 $\alpha <\beta$ 。

若集合既闭又无界，则为闭无界集。有时也考虑闭的真类（由序数组成的真类必然在所有序数组成的类 $\mathrm {On}$ 中无界）。

例如，所有可数极限序数构成的集合就是首个不可数序数的闭无界子集；然而，其并非任何更大的极限序数的闭无界子集，因为其既不闭，也非无界。所有极限序数 $\alpha <\kappa$ 构成的集合是 $\kappa$ 的闭无界子集。从另一个角度，闭无界集即是正规函数（英语：normal function）^[1]^:92（即递增且连续的函数）的值域。

更一般地可以定义何种 $C\subseteq [X]^{\lambda }$ 为闭无界集。若 $X$ 非空， $\lambda$ 为基数，且 $X$ 中每个大小小于 $\lambda$ 的子集都包含于 $C$ $C$ 的某个元素中，则 $C$ 称为闭无界集。（参见固定集（英语：stationary set））

闭无界滤子[编辑]

设 $\kappa$ 为极限序数，且其共尾性 $\lambda$ 不可数。对 $\alpha <\lambda$ ，设 $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle$ 为 $\kappa$ 的一列闭无界子集，则 $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }$ 也是闭无界集。原因是，闭集的任意交必为闭，故只需证明该交集无界。固定任意 $\beta _{0}<\kappa$ ，又对每个 $n<\omega$ ，从每个 $C_{\xi }$ 中，选取元素 $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}$ （可以如此选取，因为每个 $C_{\xi }$ 都无界）。由于此为少于 $\lambda$ 个序数，且每个都小于 $\kappa$ ，其上确界也必小于 $\kappa$ ，称其为 $\beta _{n+1}$ 。如此，得到可数序列 $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots$ ，其极限同样会是序列 $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots$ 的极限，而由于每个 $C_{\xi }$ 皆为闭，且 $\lambda$ 不可数，后者的极限必在 $C_{\xi }$ 中，所以 $(\beta _{n})$ 的极限是上述交集的元素，且大于 $\beta _{0}$ ，但 $\beta _{0}$ 为任意，故交集无界，即为所求证。^[1]^:92

由此可见，若 $\kappa$ 为正则基数（英语：regular cardinal），则闭无界集生成 $\kappa$ 上的非主 $\kappa$ 完备滤子。该滤子可以符号表示成 $\{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,$ 且 $C$ 是 $\kappa$ 中的闭无界集 $\}$ 。

若 $\kappa$ 为正则基数，则闭无界集关于对角交运算（英语：Diagonal intersection）亦是封闭的。^[1]^:92

反之，若 $\kappa$ 正则，而 ${\mathcal {F}}$ 为 $\kappa$ 上关于对角交运算封闭的滤子，且所有形如 $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}$ （其中 $\alpha <\kappa$ ）的集合皆为 ${\mathcal {F}}$ 的元素，则所有闭无界集均属于 ${\mathcal {F}}$ 。