调和平均数(英语:harmonic mean),是求一组数值的平均数的方法中的一种,一般是在计算平均速率时使用。
调和平均数是将所有数值取倒数并求其算术平均数后,再将此算术平均数取倒数而得,其结果等于数值的个数除以数值倒数的总和。一组正数
的调和平均数
其计算公式为:
![{\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95defd9642583ff8d698b2fca08421f1d03b124f)
或者
![{\displaystyle H={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296461ad03c2fc03d9a1d3a23b9908027e9efa1c)
最常用的是二个正数值
,
的调和平均数
:
![{\displaystyle H={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876893e4c3fd69b77421ca6e959a59e6fb721b2d)
这种情形下,调和平均数
和两数的算术平均数
,
![{\displaystyle A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fbca221f77b7f5e4fd5233aaaca195b6ea002e)
及几何平均数
,
![{\displaystyle G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e4a137c7c04ef835e9075ed12376a4b22e50eb)
有以下的关系。
![{\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc5402a99bd6fe40d0dc047f7ed3c9d6d5eef8e)
1.调和平均数可以用在相同距离但速率不同时,平均速率的计算;如一段路程,前半段时速60公里,后半段时速30公里〔两段距离相等〕,则其平均速率为两者的调和平均数40公里。
2.阿特伍德机中的张力也恰为调和平均
![{\displaystyle T={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca3aa3ce1ea3890422d3ee3f5709366796f795b)
3.另外,两个电阻
,
并联后的等效电阻
:
![{\displaystyle R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4f3529c81906d71d30cfb05fb3cba792ae902e)
恰为两电阻调和平均数的一半。
4.物理学中的减缩质量为调和平均数的一半
![{\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e20bb87cd05f5b84de1f51896b171fb0232d04f)