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西格尔引理

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数学上,特别是超越数论丢番图逼近的研究中,西格尔引理(Siegel's lemma)指的是从辅助函数的构造中得到的线性方程的解的界限。这些多项式的存在性由阿克塞尔·图厄所证明:[1]图厄的证明用到了鸽巢原理卡尔·路德维希·西格尔在1929年出版此引理。[2]这是一个线性方程组方面纯粹的存在性定理

近年来,西格尔引理受到改进以得出比引理给出的估计更强的界限。[3]

陈述

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设有一组有个方程、个未知数,且的方程组,其中的方程式有着如下的形式:

在这些方程组的系数为有理数、不全为零,且以为界的状况下,这方程组有如下的解:

其中的全为有理数、不全为0,且上下界如下:

[4]

Bombieri及Vaaler在1983年对给出了如下更强的界限(Bombieri & Vaaler (1983)):

其中矩阵子式最大公因数,而则是其转置矩阵。他们的证明涉及了将鸽巢原理几何数论的技巧取代的做法。

参见

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参考资料

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  1. ^ Thue, Axel. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Math. 1909, 1909 (135): 284–305. S2CID 125903243. doi:10.1515/crll.1909.135.284. 
  2. ^ Siegel, Carl Ludwig. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1929: 41–69. , reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213
  3. ^ Bombieri, E.; Mueller, J. On effective measures of irrationality for and related numbers. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1983, 342: 173–196. 
  4. ^ (Hindry & Silverman 2000) Lemma D.4.1, page 316.