蝶形线指下列两类平面曲线。
由隐式方程
给出。
这种类型由 Temple H. Fay 发现。可用下列参数方程表示：
x = sin t ( e cos t − 2 cos 4 t − sin 5 t 12 ) y = cos t ( e cos t − 2 cos 4 t − sin 5 t 12 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t(e^{\cos t}-2\cos 4t-\sin ^{5}{\frac {t}{12}})\\y&=\cos t(e^{\cos t}-2\cos 4t-\sin ^{5}{\frac {t}{12}})\end{aligned}}}
也可以写成极坐标形式：
或: r = e cos θ − 2 cos 4 θ + sin 5 2 θ − π 24 {\displaystyle r=e^{\cos \theta }-2\cos 4\theta +\sin ^{5}{\frac {2\theta -\pi }{24}}}
.
蝶形线（极角变动若干个周期后得到的结果）
