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自由粒子

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物理学里,自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里,一个自由粒子所感受到外来的合力是0。

假若,一个粒子的能量大于在任何地点位势,不会被位势束缚,则称此粒子为自由粒子。更强版的定义,还要求位势为常数。假若,一维空间分为几个区域,只有在每个区域内,位势为常数;在区域与区域之间,位势不相等,则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势,,不会被位势束缚,能量不是离散能量谱的特殊值,而是大于或等于的任意值。

本条目只论述强版定义的自由粒子。由于能量与位势都不是绝对值,可以设定位势为0,再根据新旧位势的差额,调整能量。

经典自由粒子

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经典自由粒子的特点是它移动的速度是不变的。它的动量

其中,是粒子的质量

能量

非相对论性的自由粒子

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描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程

其中,约化普朗克常数是粒子的波函数是粒子的位置,是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解:

其中,波矢角频率

将这公式代入薛定谔方程,这两个变数必须遵守关系式

由于粒子存在的概率等于1,波函数必须归一化,才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。

动量的期望值

能量的期望值是

代入波矢与角频率的关系方程,可以得到熟悉的能量与动量的关系方程:

波的群速度定义为

其中,是粒子的经典速度。

波的相速度定义为

量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为

其中,积分区域-空间。

为了方便计算,只考虑一维空间,

其中,振幅量子叠加的系数函数。

逆反过来,系数函数表示为

其中,是在时间的波函数。

所以,知道在时间的波函数,通过傅里叶转换,可以推导出在任何时间的波函数

相对论性的自由粒子

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相对论性的自由粒子的量子行为,需要用特别的方程专门描述:

参阅

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