在同调代数中,群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。
群论中的指导思想之一,是研究群
及其表示的关系。群
的表示是
-模的特例:一个
-模是一个阿贝尔群
配上
在
上的群作用
。等价的说法是:
是群环
上的模。通常将
的作用写成乘法
。全体
-模自然地构成一个阿贝尔范畴。
对给定的
-模
,最重要的子群之一是其
-不变子群
![{\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d988397c83e08f8800124f6488cdc703a33f36c)
若
是一个
-子模(即:是
的子群,且在
的作用下不变),则
上赋有自然的
-模结构,
,但是未必有
。第一个群上同调群
可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子
,其间关系可以由长正合序列表示。
以下假设
为有限群,全体
-模构成阿贝尔范畴,其间的态射
定义为满足
的群同态
。由于此范畴等价于
-模范畴,故有充足的内射对象。
函子
是从
-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义
为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:
![{\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a26f1d308eb97c4f50ba20818d31ff9db399f)
- 长正合序列:若
为
-模的短正合序列,则导出相应的长正合序列
![{\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302f2e64be53269240e72920d35ae7102135c9c9)
在上述定义中,若固定一个域
,并以
代替
,得到的上同调群依然同构。
导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到
,其中
被赋予平凡的
作用:
,故群上同调可以用Ext函子表达为
![{\displaystyle H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eeda742f411003388981c0286037ed56907c85f)
另一方面,
-模范畴中也有充足的射影对象,若取一
的射影分解
,则有自然的同构
。最自然的分解是标准分解
![{\displaystyle L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4449986e36dede4345cb72290facba7a803f9344)
![{\displaystyle g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ff3e74e2e96bd65cf78497147a4dbfbab47bb9)
![{\displaystyle d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698f1506b66d285f6d800c5ec217a733976b8847)
而
由
给出。
定义
,其元素为形如
的函数,并满足
,称之为齐次上链。根据
在
上的作用,这种
由它在形如
的元素上的取值确定。借此,可将上链复形
描述为
的元素为
之函数。
![{\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1623e8b7a4599b4630c18d488db0ea98529c50)
其中的元素称为非齐次上链。
综上所述,得到
。
较常用的上同调是
与
。从标准分解可导出以下的描述:
![{\displaystyle H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b82a1efcf5801ac8861b6e2be5035ab6cf52fd0)
准此要领,亦有
![{\displaystyle H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b961924332265f3e6e0fbb19a7668d6bbda5a4)
上述理论有一对偶版本:对于任一
-模
,定义
为形如
的元素生成之子模。考虑从
-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子
![{\displaystyle M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebbad9f282c9fd5b885d798aec9dc3b6e0e6dbe)
这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调
。群同调可以藉Tor函子描述为
![{\displaystyle H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3878938eff97a80b4926b9cac2fa1433619930)
对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
将上述定义中的
-模
改成一般的群
(未必交换),并带有
的作用
(称之为
-群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调:
![{\displaystyle H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cc4f592eba88641cd8a71039bebd771522222c)
![{\displaystyle H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226f35805ebec79251c7193069833fd4728ee1a7)
须留意
并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自
的单位元),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。
若
是
-群的短正合序列,则有长正合序列
![{\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e013af5888a349f0de0cce5751842ed9ba989494)
若
落在
的中心,此序列右端可再加一项
。
若
为群同态,则可将任一
-模透过
视为
-模,此运算导出上同调之间的映射
![{\displaystyle H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9dee2c2e91fdc9308bf783b6f1efe91c5e8ba)
此映射与群上同调的长正合序列相容。当
是
的子群而
是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。
由于我们假设
为有限群,必有
,此时映射
![{\displaystyle N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9289145a74d866b9a13f2b996b005ccfce2f9fcf)
导出一个上限制映射
。
- 定理.
![{\displaystyle \mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48eb075584b1ad6fbdc8c179bc350618f34ccc7)
若
是平凡的
模(即
),则
中的元素一一对应于
对
的中心扩张的等价类
![{\displaystyle 0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11fc4122d0c68c07fa1bf3239e81a1a90a1aebd)
中心扩张意谓:
是群扩张,而且
落在
的中心内。
具体描述方法是:任取一映射
。
不一定是群同态,但存在函数
使得
。
及
刻划了
的群结构。不难验证
满足
,而
的选取对应于
,所以
仅决定于唯一的一个中心扩张。反之,任一
都来自于某个中心扩张,证毕。
若
是
的正规子群,则有下述谱序列
![{\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8daeabb72e2fa11b0a9216978d7243e1a95a701)
对于射影有限群,此式依然成立。
- Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv., 1942, 14: 257––309, MR6510, (原始内容存档于2011-05-24)
- Milne, James, Class Field Theory, 2007 [2007-11-18], (原始内容存档于2012-04-02) , Chapter II
- Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8, MR1307623
- Serre, Jean-Pierre, Corps locaux, Paris: Hermann, 1968, ISBN 2-7056-1296-3 , Chapitre VII
- Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7, MR1324577
- Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1972, ISBN 978-0-691-08017-8, MR0347778