瓦特曲线

绘制瓦特曲线（图中的黑线）

瓦特曲线是指一个六次方程的平面代数曲线，也是圆代数曲线。是由二个半径为b ，圆心之间距离为2a（分别在(±a, 0)）的圆所产生，一个长为2c的线段，两端点分别在二圆上，其线段中间的轨迹即为瓦特曲线，此曲线和詹姆斯·瓦特在蒸汽机上的贡献有关。

瓦特曲线的方程式可以写为以下的极坐标系方程

$r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.$

推导

极坐标系

极坐标系方程可以用下式推导： 在复数平面上，令二圆的圆心为a和−a，二圆连线的端点为−a+be^{i λ}和a+be^{i ρ}。令线段相对水平线的斜角ψ，其中点为re^{i θ}，则二端点也可表示为re^{i θ} ± ce^{i ψ}。二端点的二种表示式可得：

$a+be^{i\rho }=re^{i\theta }+ce^{i\psi }.\,$

$-a+be^{i\lambda }=re^{i\theta }-ce^{i\psi }\,$

二式相加再除二可得

$re^{i\theta }={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }+e^{i\lambda })=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda }{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.$

比较半径及幅角可得

$r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{where}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.$

一开始的二式相减再除二可得

$ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda })=ib\sin \alpha e^{i\theta }.$

将a以下式表示

$a=a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }.\,$

因此

$ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta }+a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },$

$c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,$

$b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,$

$r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,$

直角座标系

将极座标方式展开可得

$r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,$

$r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,$

$(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,$

$(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,$

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,$

令d ²=a²+b²–c² 因此可简化上式为:$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,$

瓦特连杆

当曲线通过原点时，原点为拐点，因此有3阶接触切线。不过若a²=b²+<c²，则有5阶接触切线，换句话说此曲线相当接近直线，这就是瓦特连杆可以作为直线运动机构的原理。

相关条目

• 平面四杆机构
• 瓦特连杆

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Watt's Curve. MathWorld. 
• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Watt's Curve, MacTutor数学史档案 （英语） 
• "Courbe de Watt" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French)
• Catalan, E. Sur la Courbe de Watt. Mathesis. 1885, V: 154. 
• Rutter, John W. Geometry of Curves. CRC Press. 2000: 73ff. ISBN 1-58488-166-6.