狄拉克场

在量子场论中，狄拉克场用于描述自旋-1/2的费米子，如：电子、质子、夸克等粒子。并且狄拉克场遵守反正则对易关系，数学上可以表示成有四的分量的旋量或一对两个分量的外尔旋量。

虽然都用于描述自旋-1/2的费米子，其与马约拉那场不同。狄拉克场描述的粒子存在反粒子，然而马约拉那场描述的粒子即为自身的反粒子。

基本性质

主条目：格拉斯曼数

自由（没有交互作用）的狄拉克场遵守反正则对易关系，数学上使用到反交换子$\{a,b\}=ab+ba$而非交换子$[a,b]=ab-ba$。其中的反对易关系就暗示了费米-狄拉克统计，并且也能推导出泡利不相容原理：两个相同的费米子不能处于相同的量子态。

数学公式

狄拉克场表示成$\psi (x)$。其自由场的运动方程式为狄拉克方程式：

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,$

其中$\gamma ^{\mu }\,$为γ矩阵（或称作狄拉克矩阵），m代表质量。这个方程式最简单的解为平面波$\psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,$和$\psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,$。平面波组成了一个$\psi (x)$的傅立叶基底。我们能以此基底作展开，如下：

$\psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,$

$a\,$、$b\,$标示了旋量的指标，$s\,$表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面系数中的能量是为了劳伦兹积分的协变性。由于$\psi (x)\,$可以视作一个算符，每个傅立叶基底的系数也必须是算符。因此，$a_{\textbf {p}}^{s}$以及$b_{\textbf {p}}^{s\dagger }$为作用子。这些算符的性质可以从这些场的性质中得知。 $\psi (x)\,$和$\psi (y)^{\dagger }$遵守反对易关系：

$\{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},$

借由将$\psi (x)\,$和$\psi (y)\,$作展开，我们可以得到系数间的反对易关系：

$\{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,$

于非相对论系统中的创造与湮灭算符相类似，从这个代数关系得到了这样的物理诠释： $a_{\textbf {p}}^{s\dagger }$产生一个动量${\textbf {p}}\,$自旋为s的粒子，而$b_{\textbf {q}}^{r\dagger }$产生一个动量${\textbf {q}}\,$自旋为r的反粒子。因此，广义的$\psi (x)\,$现在看作产生所有可能动量、自旋之粒子的总合，而其共轭${\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$与其相反，看作湮灭所有动量、自旋之反粒子的总合。

有了对于场及其共轭的了解，我们便能试着架构出劳仑兹协变性的场。最单纯的量为${\overline {\psi }}\psi \,$，当中${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$。其他可能的劳仑兹协变性量${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$。

由于这些量的线性组和同样符合劳仑兹协变性，很自然地得到了狄拉克场的拉格朗日密度，并且其欧拉－拉格朗日方程必须回到狄拉克方程式。

${\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,$

这样的表示将指标隐藏了起来。完整的表示如下：

${\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,$

由$\psi (x)$，我们可以建构出狄拉克场的费曼传播子：

$D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle$

我们定义狄拉克场的时间排序如下，当中的负号来自于其反对易关系的性质：

$T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)$。

对上列的式子作平面波的展开，得到：

$D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}$

在此我们用上了费曼斜线标记。这个式子相当合理，因为系数

${\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}$

即为狄拉克方程式中作用在$\psi (x)\,$的相反算符。 标量场的费曼传播子也具有相同的性质。由于所有合理的观测量（例如能量、电荷、粒子数等）都由偶数的狄拉克场所构成，两个观测量的对易关系在光锥外为零。就如同我们从量子力学中学习到的，两的可交换的观察量可以同时被观测。因此，我们确定了狄拉克场的劳仑兹协变性，并维持了因果律。

而更复杂、包含交互作用的场论（汤川理论（Yukawa theory）或量子电动力学）同样可以微扰或非为扰方法作分析。

在粒子物理标准模型中，狄拉克场扮演很重要的要素。

参阅

• 狄拉克方程式
• 狄拉克旋量

参考资料

• Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
• Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.