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牛奶冻函数的图形
牛奶冻曲线(blancmange curve)又称为高木曲线,因为在1901年由高木贞治所研究。另外也称为 Takagi-Landsberg 曲线,一种更一般化的曲线,以高木贞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶冻曲线也是 de Rham 曲线的特例。
定义域为单位区间的牛奶冻函数定义为
![{\displaystyle b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f8f361d641744be238bf591e93cecc3f181f4a)
其中
是三角波函数,定义为
。
而 Takagi–Landsberg 曲线的定义是更一般化的:
![{\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3a981eba331c529f8ac0a589801f149b873ee9)
其中
是一个变数使
。
-
parameter w=2/3
-
parameter w=1/2
-
parameter w=1/3
-
parameter w=1/4
-
parameter w=1/8
收敛与连续性[编辑]
以
(
)为参数无限和
对所有
绝对收敛:因为对所有
有
,从而
。
以
为参数的
也是连续的。因为可以如下证明
均匀收敛到
:
对所有
。
其值在
够大时可以任意的小。再根据均匀极限定理,
连续。
次可加性[编辑]
具有次可加性。
抛物线[编辑]
当
,
的图形是抛物线,且用中点细分的构造方法曾被阿基米德描述。
可微性[编辑]
对所有
,
在任意不是二进分数的
是可微的,且其结果是
![{\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a593832082622fb24b986222ffd5fbbc482d879)
其中
是
的二进制表达式的序列,也就是满足
的序列。