洛伦兹因子是一个出现在狭义相对论中的速记因子,得名于荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹,被用于计算时间膨胀、长度收缩、相对论质量等相对论效应。
洛伦兹因子定义为:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef98018e2cf0bbbc8ac0d8d88dec73b045b7e93)
其中
一些作者另外定义了洛伦兹因子的倒数:[1]
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ccd66ce7ab72955297b9973ae2d6874442c8ad)
可用于速度相加推导。
相对论性条件(近光速)下,物体的总能量
与动量
可以通过洛伦兹因子
简单写为:
![{\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d2d15e47ccc3356d99b5921ecec5613782ae1d)
![{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdda87521f44674347be28a32611eaa0ebd7596)
其中
为静质量。
在四维矢量描述下,能-动矢量则成为:
![{\displaystyle \mathbf {p} ^{(4)}=({E \over c},\mathbf {p} )=(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} )=m(\gamma c,\gamma \mathbf {v} )=m\mathbf {v} ^{(4)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393e4bce55ddbda51a1b86dfe0fbce39ae966dfc)
和牛顿力学的三维动量
定义相似。
洛伦兹因子与速度的关系。速度为零时洛伦兹因子为1,速度
时洛伦兹因子趋于无穷大。
下表中,最左栏为以c为单位的速率;中间栏显示相应的洛伦兹因子;最右栏为洛伦兹因子的倒数。以粗体字显示者为精确值。
速率(c为单位) |
洛伦兹因子 |
倒数
|
![{\displaystyle \beta =v/c\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3557de3fab4252712895b4b91f19ad349e1efde) |
![{\displaystyle \gamma \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b0952c818e8f7b4bf1f3fd3034baa6fe397910) |
|
0.000 |
1.000 |
1.000
|
0.050 |
1.001 |
0.999
|
0.100 |
1.005 |
0.995
|
0.150 |
1.011 |
0.989
|
0.200 |
1.021 |
0.980
|
0.250 |
1.033 |
0.968
|
0.300 |
1.048 |
0.954
|
0.400 |
1.091 |
0.917
|
0.500 |
1.155 |
0.866
|
0.600 |
1.250 |
0.800
|
0.700 |
1.400 |
0.714
|
0.750 |
1.512 |
0.661
|
0.800 |
1.667 |
0.600
|
0.866 |
2.000 |
0.500
|
0.900 |
2.294 |
0.436
|
0.990 |
7.089 |
0.141
|
0.999 |
22.366 |
0.045
|
当速度远小于光速(非相对论性条件下),即
,则
趋近于0,而
趋近于1,回到传统的牛顿力学描述。
- ^ Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.