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正合函子

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范畴论中,正合函子(或译作恰当函子)是保存有限极限函子。在阿贝尔范畴中,这就相当于保存正合序列的函子。

阿贝尔范畴间的正合函子

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阿贝尔范畴 为加法函子。若对每个正合序列

后得到的序列

仍为正合序列,则称 正合函子

由于正合序列总能拆解为短正合序列,在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外,若对每个短正合序列 ,其像截去尾端零对象后 为正合序列,则称 左正合函子;类似地,若 为正合序列,则称 右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。

一般范畴中的正合函子

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考虑一个函子

  • 里存在任意的有限射影极限,且与有限射影极限交换(即:),则称左正合
  • 里存在任意的有限归纳极限,且与有限归纳极限交换(即:),则称右正合
  • 若上述条件同时被满足,则称正合

阿贝尔范畴中,由于任意有限射影(或归纳)极限可以由核(或上核)与有限积(或上积)生成,此时的定义遂回归到正合序列的定义。

例子

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  • 根据极限的泛性质,函子无论对哪个变数都是左正合的,这是左正合函子的基本例子。
  • 是一对伴随函子。若存在任意有限归纳极限,则右正合;若存在任意有限射影极限,左正合。此法可建立许多函子的正合性。
  • 拓扑空间阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子 是左正合函子。
  • 为右 -模,则左 -模范畴上的张量积函子 是右正合函子。
  • 为两个阿贝尔范畴,考虑函子范畴 ,固定一对象 ,对 的“求值”是正合函子。

文献

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  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490