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正则变换生成函数

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哈密顿力学里,当计算正则变换时,生成函数扮演的角色,好似在两组正则坐标 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性 ,采取一种间接的方法,称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程

(1)

其中, 是旧广义坐标 是旧广义动量 是新广义坐标, 是新广义动量, 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量,生成函数 是时间。

生成函数 的参数,除了时间以外,一半是旧的正则坐标;另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定,一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换,从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 保证是正则变换。

生成函数列表

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生成函数 导数

第一型生成函数

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第一型生成函数 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关,

代入方程 (1) 。展开生成函数对于时间的全导数

新广义坐标 和旧广义坐标 都是自变量,其对于时间的全导数 互相无关,所以,以下 个方程都必须成立:

(2)
(3)
(4)

个方程设定了变换 ,步骤如下:

第一组的 个方程 (2) ,设定了 个函数方程

在理想情况下,这些方程可以逆算出 个函数方程

(5)

第二组的 个方程 (3) ,设定了 个函数方程

代入函数方程 (5) ,可以算出 个函数方程

(6)

个函数方程 (5) 、(6) ,可以逆算出 个函数方程

代入新哈密顿量 的方程 (4) ,可以得到

第二型生成函数

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第二型生成函数 只跟旧广义坐标 、新广义动量 有关 :

代入方程 (1) 。展开生成函数随时间的全导数:

由于旧广义坐标 与新广义动量 必须彼此无关,以下 方程必须成立:

(7) 
(8)
(9)

个方程设定了变换 。步骤如下:

第一组的 个方程 (7) ,设定了 的函数方程

在理想情况下,这些方程可以逆算出 的函数方程

(10)

第二组的 个方程 (8) ,设定了的函数方程

代入函数方程 (10) ,可以算出 函数方程

(11)

由函数方程 (10) 、(11) ,可以算出函数方程

代入新哈密顿量的方程 (9) ,则可得到

第三型生成函数

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第三型生成函数只跟旧广义动量 、新广义坐标 有关:

以下 方程设定了变换

第四型生成函数

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第四型生成函数 只跟旧广义动量 、新广义动量 有关:

以下 方程设定了变换

实例 1

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第一型生成函数有一个特别简易案例:

方程 (2) ,(3) ,(4) 的答案分别为

实例 2

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再举一个涉及第二型生成函数,比较复杂的例子。让

这里, 是一组 个函数。

答案是一个广义坐标的点变换,

实例 3

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有时候,可以将一个给定的哈密顿量,变成一个很像谐振子的哈密顿量,

例如,假若哈密顿量为

(12)

这里, 是广义动量, 是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

(13)
(14)

代入方程 (12) ,新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同:

这变换用的是第三型生成函数 ;其对于 的导数是

代入方程 (13) 、(14) ,

对于 积分,可以得到生成函数

最后,检查答案是否正确:

参阅

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参考文献

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